Question

如图，在直角坐标系xOy中，点A（5，0）、B（-1，0），点C在第一象限，∠OAC=90°，tanC=

1

2

，抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过A、B两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线OC的对称点A′的坐标；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，如果四边形PACM是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求出b、c，然后写出抛物线解析式即可；
（2）根据点A的坐标求出OA，再求出AC，然后利用勾股定理列式求出OC，再利用三角形的面积和轴对称的性质求出AA′，过点A′作A′D⊥x轴于D，利用∠A′AD的正弦和余弦求出A′D，AD，再求出OD，然后写出点A′的坐标即可；
（3）设直线A′C的解析式为y=kx+b（k≠0），利用直线解析式和抛物线解析式表示出PM，再根据平行四边形对边相等可得PM=AC，然后解方程求出x的值，再根据点M在线段CA′上判断即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过A（5，0）、B（-1，0），
∴

25 4 +5b+c=0 1 4 -b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 5 4

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x²-x-

5

4

；

（2）∵A（5，0），
∴OA=5，
∵OAC=90°，tanC=

1

2

，
∴AC=5÷

1

2

=10，
由勾股定理得，OC=

OA2+AC2

=

52+102

=5

5

，
∵A、A′关于OC对称，
∴S_△AOC=

1

2

×（

1

2

AA′）•OC=

1

2

OA•AC，
即

1

2

×（

1

2

AA′）•×5

5

=

1

2

×5×10，
解得AA′=4

5

，
∵∠A′AD+∠A′AC=∠C+∠A′AC=90°，
∴∠A′AD=∠C，
过点A′作A′D⊥x轴于D，
A′D=4

5

×

5

5 5

=4，
AD=4

5

×

10

5 5

=8，
∴OD=AD-OA=8-5=3，
∴点A′的坐标为（-3，4）；

（3）设直线A′C的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线经过点A′（-3，4），C（5，10），
∴

-3k+b=4 5k+b=10

，
解得

k= 3 4 b= 25 4

，
直线A′C的解析式为y=

3

4

x+

25

4

，
∵PM∥y轴，
∴PM=（

3

4

x+

25

4

）-（

1

4

x²-x-

5

4

）=-

1

4

x²+

7

4

x+

15

2

，
∵四边形PACM是平行四边形，
∴PM=AC，
∴-

1

4

x²+

7

4

x+

15

2

=10，
整理得，x²-7x+10=0，
解得x₁=2，x₂=5，
∵点M在线段CA′，
∴-3＜x＜5，
∴x=2，
当x=2时，y=

1

4

×2²-2-

5

4

=-

13

4

，
∴点P的坐标为（2，-

13

4

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，平行四边形的对边相等的性质，解一元二次方程，难点在于（2）确定出点A′位置，（3）根据平行四边形的对边相等列出方程．