Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在BC上，(不与B、C重合)，FM⊥AD，交射线AD于点M．

(1)如图1，当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，请直接写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明.

(2)如图2，当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，请写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，并且证明你的结论.

(3)如图3，当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，若BE＝，∠AFM＝15°，求AM的长度.

Answer 1

【答案】(1)AB+AM＝BE；(2)AM＝BE+AB；(3)AM＝3﹣．

【解析】

(1)证明△ABE≌△EHF(AAS)，可得结论：BE＝AM+AB；

(2)根据AAS证明△ABE≌△EHF，可得结论：AM＝BE+AB；

(3)首先由∠AFM＝15°，易得∠EAB＝30°，由△ABE≌△EHF，根据全等三角形的性质易得AB＝EH，利用锐角三角函数易得AB，最后可以计算AM的长．

(1)AB+AM＝BE．理由是：如图1，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC＝∠BAD＝90°

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵∠AEF＝∠AEB+∠HEF＝90°，

∴∠BAE＝∠HEF，

在△ABE与△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF(AAS)，

∴AB＝EH，

∵FM⊥AD，

∴∠AMH＝∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴四边形ABHM是矩形，

∴AM＝BH，

∴BE＝BH+EH＝AM+AB；

(2)如图2，AM＝BE+AB．

证明：延长MF，交BC延长线于H，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAM＝∠B＝90°，

∵FM⊥AD，

∴∠AMF＝90°，

∴四边形ABHM为矩形，

∴AM＝BH，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEH＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠FEH＝∠BAE，

∵∠B＝∠EHF＝90°，

∴△ABE≌△EHF(AAS)，

∴AB＝EH，

∴AM＝BH＝BE+EH＝BE+AB．

(3)如图3，FM与BC相交于H．

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠EAF＝45°，

同理得：四边形ABHM是矩形，

∴AM＝BH，

∵AB∥FM，

∴∠BAF＝∠AFM＝15°，

∴∠BAE＝∠EAF﹣∠BAF＝45°﹣15°＝30°．

在Rt△ABE中，BE＝，

AB＝BE＝3．

同理得：△ABE≌△EHF，

∴EH＝AB＝3，

∴BH＝EH﹣BE＝3﹣，

∴AM＝BH＝3﹣．