Question

【题目】已知：如图，在中，，以为直径作分别交，于点，，连接和，过点作，垂足为，交于点．

（1）求证：；

（2）若，求线段的长；

（3）在的条件下，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

(1)根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等腰三角形三线合一可得∠ABD＝∠CBD，又AD、DE是两角对应的弦，所以可证AD＝DE；(2)先证△CED∽△CAB，再根据相似三角形的性质和已知边长求得CD；(3)在Rt△ABD中由勾股定理求得BD，根据角相等，可证△BPE∽△BED，利用相似性质求得BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比，可得S△BCD：S△BPE＝DP：BP＝13:32，,S△BDE：S△BCD＝BE：BC＝4:5，再根据三角形面积公式即可求解.

(1)证明：∵是的直径，

∴，

∵，

∴是的中点，，

∴；

（2）∵四边形内接于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，是的中点，

∴；

（3）延长交于，

，

在中，，，

∴，

∵，是的直径，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴．