【题目】如图1,在△ABC中,AE⊥BC于E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD,CD.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图2,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;
(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变.
①试猜想BD与AC的数量关系,并说明理由;
②你能求出BD与AC的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.
【答案】
(1)
解:BD=AC,BD⊥AC,
理由:延长BD交AC于F.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC,
∴BD=AC,∠DBE=∠CAE,
∵∠BED=90°,
∴∠EBD+∠BDE=90°,
∵∠BDE=∠ADF,
∴∠ADF+∠CAE=90°,
∴∠AFD=180°﹣90°=90°,
∴BD⊥AC
(2)
解:
不发生变化,
理由是:∵∠BEA=∠DEC=90°,
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,
∴∠BED=∠AEC,
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC,
∴BD=AC,∠BDE=∠ACE,
∵∠DEC=90°,
∴∠ACE+∠EOC=90°,
∵∠EOC=∠DOF,
∴∠BDE+∠DOF=90°,
∴∠DFO=180°﹣90°=90°,
∴BD⊥AC
(3)
解:能.
理由:∵△ABE和△DEC是等边三角形,
∴AE=BE,DE=EC,∠EDC=∠DCE=60°,∠BEA=∠DEC=60°,
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,
∴∠BED=∠AEC,
在△BED和△AEC中中
∴△BED≌△AEC,
∴∠BDE=∠ACE,
∴∠DFC=180°﹣(∠BDE+∠EDC+∠DCF)
=180°﹣(∠ACE+∠EDC+∠DCF)
=180°﹣(60°+60°)
=60°,
即BD与AC所成的角的度数为60°或120°
【解析】(1)延长BD交AC于F,求出∠AEB=∠AEC=90°,证出△BED≌△AEC,推出BD=AC,∠DBE=∠CAE,根据∠EBD+∠BDE=90°推出∠ADF+∠CAE=90°,求出∠AFD=90°即可;(2)求出∠BED=∠AEC,证出△BED≌△AEC,推出BD=AC,∠BDE=∠ACE,根据∠ACE+∠EOC=90°求出∠BDE+∠DOF=90°,求出∠DFO=90°即可;(3)求出∠BED=∠AEC,证出△BED≌△AEC,推出∠BDE=∠ACE,根据三角形内角和定理求出∠DFC即可.
【考点精析】掌握三角形的内角和外角和全等三角形的性质是解答本题的根本,需要知道三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等.
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【题目】如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°. 因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直后的公路AB的长;
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米?(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
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【题目】把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子,或可以求出一些不规则图形的面积.
(1)如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么结论,请写出来.
(2)如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连接BD和BF,若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,你能求出阴影部分的面积吗?
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AD=1,AB=2.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点O.当△AED的外接圆与BC相切于BC的中点N.则折痕FG的长为______.
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【题目】如图,已知E为等腰△ABC的底边BC上一动点,过E作EF⊥BC交AB于D,交CA的延长线于F,问:
(1)∠F与∠ADF的关系怎样?说明理由;
(2)若E在BC延长线上,其余条件不变,上题的结论是否成立?若不成立,说明理由;若成立,画出图形并给予证明.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,DE⊥AB于点E.
(1)求证:△ACD≌△AED
(2)若AC=5,△DEB的周长为8,求△ABC的周长
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