Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O在AB上，以O为圆心，以OA长为半径的圆分别与AC，AB交于点D，E，直线BD与⊙O相切于点 D．

(1)求证：∠CBD=∠A；

(2)若AC=6，AD：BC=1:．

①求线段BD的长；

②求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2)①BD=3；②

【解析】

(1)连接OD，由切线的性质可得∠BDO=90°，再利用等腰三角形的性质及互余关系可得∠CBD=∠A；

(2)①先由∠C=∠C，∠CBD=∠A，证得△ACB∽△BCD，再利用相似三角形的性质得出比例式，根据已知条件设AD=x，BC=x，解出x的值，则可求得BD的长；

②由①可知BC=3，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB，设OA=OD=r，则OB=3﹣r，在Rt△OBD中，由勾股定理得关于r的方程，解得r的值，再利用圆的面积计算公式求得答案即可．

解：(1)证明：连接OD，

∵直线BD与⊙O相切于点D，

∴∠BDO=90°，

∴∠BDC+∠ODA=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠BDC=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠BDC+∠OAD=90°，

∴∠CBD=∠A；

(2)①∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，

∴△ACB∽△BCD，

∴，

∵AC=6，AD：BC=1：，

∴设AD=x，BC=x，

∴ ，

解得：x=3，

∴BD=3；

②由①可知BC=3，

又∵∠C=90°，AC=6，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

设OA=OD=r，则OB=3﹣r，

∴在Rt△OBD中，由勾股定理得：r2+，

解得：r=，

∴⊙O的面积为：π×=．