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【题目】如图二次函数yx24x3的图象与x轴交于AB两点(B在点A的右侧)y轴交于点C抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求点AB和点D的坐标;

(2)y轴上是否存在一点P使PBC为等腰三角形?若存在请求出点P的坐标;

(3)若动点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动同时另一个动点N从点D出发以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动当点M到达点BMN同时停止运动问点MN运动到何处时MNB的面积最大试求出最大面积.

    (备用图)

【答案】见解析

【解析】试题分析(1)已知抛物线的一般式,令y=0,可得关于x的方程,解方程可得抛物线与x轴交点的横坐标,从而得到A、B两点坐标,通过配方可得到抛物线的对称轴,从而可得点D的坐标;

(2)先求出BC的长,然后分情况进行讨论即可得;

(3)设点M运动的时间为ts,用含t的式子先表示出BMDN的长,然后利用三角形的面积公式表示出△MNB的面积,再根据二次函数的性质即可得.

试题解析(1)当y=0时,x2-4x+3=0.

解得x1=1,x2=3,

∵点B在点A的右侧,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),

∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

∴点D的坐标为(2,0);

(2)存在一点P,使△PBC为等腰三角形,

当x=0加法,y=x2-4x+3=3,∴点C的坐标为(0,3),

BC=

点P中y轴上,当△PBC为等腰三角形时分三种情况讨论,点P位置如图,

当CP=CB时PC3

OPOCPC33 或OP=PC-OC=33.

P1(033)P2(033)

当BP=BC时,OP=OC=3,

∴P3(0,-3);

③当PB=PC时

∵OC=OB=3,

此时点P与点O重合.

∴P4(0,0),

综上所述当点P的坐标为(033)或(033)或(0-3)或(00)时PBC为等腰三角形

(3)设点M运动的时间为ts,

∵AB=2,∴BM=2-t,DN=2t,

SMNB==-t2+2t=-(t-1)2+1

∴当t=1时,△MNB的面积最大,最大面积为1,

此时M(2,0),N(2,2)或(2,-2),

∴当点M运动到(2,0),点N运动到(2,2)或(2,-2)时,△MNB的面积最大,最大面积为1.

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1)(5mn2﹣4m2n)(﹣2mn

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试题解析:(1原式=5mn2)(﹣2mn+﹣4m2n)(﹣2mn=﹣10m2n3+8m3n2

2原式=x2﹣6x+7x﹣42﹣x2﹣x+2x+2=2x﹣40

3)原式=()1008×161 008=(×16)1 008=1.

型】解答
束】
19

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②当AB=1时,求HC的长.

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