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【题目】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.

(1)如图1,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.
求证:AE是△ABC的一条特异线.
(2)如图2,已知BD是△ABC的一条特异线,其中∠A= ,∠ABC为钝角,求出所有可能的∠ABC的度数.
(3)如图3,△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形,且它是特异三角形,若它的顶角
度数为整数,请求出其特异线的长度;若它的顶角度数不是整数,请直接写出顶角度数.

【答案】
(1)

证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,

∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,

∴∠EAC=∠C,

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,

∵∠B=2∠C,

∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,

∴AE是△ABC的一条特异线 ,


(2)

解:若∠A=∠ADB=30°,∠ABD=120°

等腰△BCD中,∠C=∠CBD=15°

∴∠ABC=135°

若∠ABD=∠ADB=75°

等腰△BCD中,∠C=∠CBD=37.5°

∴∠ABC=112.5°

若∠A=∠DBA=30°

则等腰△BCD中,∠CDB=∠C=∠CBD=60°

∴∠ABC=90°(舍去)

∴∠ABC=135°,或112.5°


(3)

解:如图1中,设顶角∠A=x,则x+2x+2x=180°,

解得:x=36°,即顶角∠A=36°;

此时△BCD∽△ABC, , , 解得特异线BD= -1;

如图2中,7x=180°, x= °,即顶角∠A=°


【解析】(1)只要证明△ABE, △AEC是等腰三角形即可;(2)如图2中,当BD是特异线时,分三种情况讨论;如图3中,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC,根据等腰三角形性质即可;当CD为特异线时,不合题意。(3)如图3中,当BD是特异线时,分两种情况讨论即可;当AD是特异线时,不合题意。
【考点精析】通过灵活运用三角形的内角和外角,掌握三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可以解答此题.

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