【题目】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.
(1)如图1,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.
求证:AE是△ABC的一条特异线.
(2)如图2,已知BD是△ABC的一条特异线,其中∠A= ,∠ABC为钝角,求出所有可能的∠ABC的度数.
(3)如图3,△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形,且它是特异三角形,若它的顶角
度数为整数,请求出其特异线的长度;若它的顶角度数不是整数,请直接写出顶角度数.
【答案】
(1)
证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,
∴AE是△ABC的一条特异线 ,
(2)
解:若∠A=∠ADB=30°,∠ABD=120°
等腰△BCD中,∠C=∠CBD=15°
∴∠ABC=135°
若∠ABD=∠ADB=75°
等腰△BCD中,∠C=∠CBD=37.5°
∴∠ABC=112.5°
若∠A=∠DBA=30°
则等腰△BCD中,∠CDB=∠C=∠CBD=60°
∴∠ABC=90°(舍去)
∴∠ABC=135°,或112.5°
(3)
解:如图1中,设顶角∠A=x,则x+2x+2x=180°,
解得:x=36°,即顶角∠A=36°;
此时△BCD∽△ABC, , , 解得特异线BD= -1;
如图2中,7x=180°, x= °,即顶角∠A=°
【解析】(1)只要证明△ABE, △AEC是等腰三角形即可;(2)如图2中,当BD是特异线时,分三种情况讨论;如图3中,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC,根据等腰三角形性质即可;当CD为特异线时,不合题意。(3)如图3中,当BD是特异线时,分两种情况讨论即可;当AD是特异线时,不合题意。
【考点精析】通过灵活运用三角形的内角和外角,掌握三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可以解答此题.
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【题目】如图,直线AB、CD相交于O点,∠AOC=70,OF平分∠AOD,射线OE在∠BOD的内部(如图),∠BOE=n°.
(1)当n=30时,求∠DOE的度数;
(2)当n=35时,射线OE与OF之间有什么位置关系?
(3)若射线OD平分∠EOF,求n的值.
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【题目】像(+2)(﹣2)=1、=a(a≥0)、(+1)(﹣1)=b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如,与, +1与﹣1,2+3与2﹣3等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:
(1)化简:;
(2)计算:;
(3)比较与的大小,并说明理由.
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【题目】2017年体育中考在即,学校体育组对九(1)班50名学生进行了长跑项目的测试,根据测试成绩制作了如图两个统计图.
根据统计图解答下列问题:
(1)本次测试的学生中,得4分的学生有多少人?
(2)本次测试的平均分是多少?
(3)该校九年级共有600名学生参加了长跑项目的测试,估计测试成绩在4分以上(含4分)的人数.
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【题目】宁波某公司经销一种绿茶,每千克成本为 元.市场调查发现,在一段时间内,销售量 (千克)随销售单价 (元/千克)的变化而变化,具体关系式为: .设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 (元),解答下列问题:
(1)求 与 的关系式;
(2)当销售单价 取何值时,销售利润 的值最大,最大值为多少?
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 元/千克,公司想要在这段时间内获得 元的销售利润,销售单价应定为多少元?
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【题目】全球气候变暖导致-些冰川融化并消失,在冰川|消失12年后,一种低等植物苔藓,就开始在岩石上生长,每一个苔藓都会长成近似的圆形,苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式:d=7 (t≥12),其中d表示苔藓的直径,单位是厘米,t代表冰川消失的时间(单位:年)。
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径为多少厘米?
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米,问冰川约是在多少年前消失的?
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