Question

【题目】在平面直角坐标系中，有两点，另有一次函数的图象．

（1）若，判断函数的图象与线段是否有交点？请说明理由．

（2）当时，函数图象与线段有交点，求k的取值范围．

（3）若，求证：函数图象一定经过线段的中点．

Answer 1

【答案】（1）没有；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

（1）求出当x=1和x=3时，对应的y的值，然后根据一次函数的增减性判断即可；

（2）函数y=kx+12与线段AB有交点，极限情况是函数y=kx+12过A点或B点，把A、B两点的坐标代入求解即可；

（3）先求出线段AB中点的坐标，再代入一次函数的解析式，验证即可．

（1）当x=1时，y=k+b=1+2=3＞2，当x=3时，y=3k+b=5．

∵y=x+2中y随x的增大而增大，∴当1＜x＜3时，3＜y＜5，∴函数y=x+2与线段AB没有交点；

（2）∵函数y=kx+12与线段AB有交点，∴极限情况是函数y=kx+12过A点或B点．

∴当函数y=kx+12过A点时，2=k+12，解得：k=-10，

当函数y=kx+12过B点时，2=3k+12，解得：k=，

∴．

（3）∵A（1，2），B（3，2），∴线段AB的中点坐标为（2，2）．

当b=-2k+2时，y=kx+b=kx-2k+2，x=2时，y=2k-2k+2=2，∴函数y=kx+b过（2，2），

∴函数y=kx+b（k≠0）图象一定经过线段AB的中点．