Question

【题目】如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．

（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．

（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．

Answer 1

【答案】（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．

【解析】

（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；

（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；

（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.

（1）∵，

∴a-b+2=0，b-8=0，

∴a=6，b=8，

∴A（0，6），C（8，0）；

故答案为：（0，6），（8，0）；

（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），

∴OA=6，OB=8，

由运动知，OQ=t，PC=2t，

∴OP=8-2t，

∵D（4，3），

∴，

，

∵△ODP与△ODQ的面积相等，

∴2t=12-3t，

∴t=2.4，

∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；

（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：

∵x轴⊥y轴，

∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，

∴∠OAC+∠ACO=90°.

又∵∠DOC=∠DCO，

∴∠OAC=∠AOD.

∵x轴平分∠GOD，

∴∠GOA=∠AOD.

∴∠GOA=∠OAC.

∴OG∥AC，

如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，

∴HF∥AC，

∴∠FHC=∠ACE.

∵OG∥FH，

∴∠GOD=∠FHO，

∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，

即∠GOD+∠ACE=∠OHC，

∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．