Question

【题目】已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．

（1）如图①，若tan∠ADM＝，MN＝3，求BC的长；

（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．

Answer 1

【答案】（1）BC＝；（2）见解析.

【解析】

（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DMAN，由此构建方程即可解决问题．

（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH（SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．

（1）解：如图①中，

∵AM⊥DN，

∴∠AMD＝90°，

∵tan∠ADM＝＝，

∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，

∵AD⊥AN，

∴∠DAN＝90°＝∠AMD，

∵∠ADM＝∠ADN，

∴△ADM∽△NDA，

∴AD2＝DMAN，

∴（5k）2＝4k（4k+3），

解得k＝，

∴AD＝，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝．

（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADK＝∠BNQ，

∵BH∥DQ，

∴∠CBH＝∠BNQ，

∴∠ADK＝∠CBH，

∵DK＝BH，DA＝BC，

∴△ADK≌△CBH（SAS），

∴AK＝CH，

∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，

∴AN⊥BC，

∴∠AMK＝∠CNH＝90°，

∵AM＝CN，

∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），

∴MK＝NH，

∴DM＝DK+MK＝BH+HN．