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【题目】如图,AB、AC、AD是⊙O的弦,弧BC=弧BD,CEABM,交⊙OE,交ADF.

(1)如图1,求证:AF=AC;

(2)如图2,连接BF、AE、BE,交ADH,求证:∠DAE=EBF;

(3)如图3,连接BO,并延长交AEQ,交AD于点G,连接BC,若QG=4,FH=GF,tanBCE=1,求线段AB的长.

【答案】(1)见解析 ;(2)见解析;(3)

【解析】

(1)ASA证明AMC≌△AMF即可得到结论

(2)证明ABC≌△AFB得到∠ACB=AFB进而有BCE=∠BFC根据三角形外角的性质以及圆周角定理即可得到结论

(3) 过点OOKBEQQTADTQQRABR可证GHB为等腰直角三角形,CBA=∠FBA=∠GBH=∠BCE=∠BAE=45°,通过解直角三角形得到QTATAQARRQBR的长从而得到结论

(1)∵弧BC=BDCEAB∴∠BAC=BAD,∠AMC=AMF=90°.

AM=AM,∴△AMC≌△AMF∴∠ACM=AFMAC=AF

(2)在△ABC和△AFB中,∵AC=AF,∠BAC=BADAB=AB,∴△ABC≌△AFB,∴ACB=AFB

∵∠ACM=∠AFM,∴∠BCE=∠BFC

∵∠BCE=∠EAB=∠EAD+∠BAD,∠BFC=∠BEF+∠EBF,∠BEF=∠BAC=∠BAD,∴∠DAE=∠EBF

(3) 过点OOKBEQQTADTQQRABR

∵∠BEC=∠BAC=∠BAD,∠AFM=∠EFH,∴∠EHF=∠AMF=90°.

tanBCE=1,∴BCE=BAE=45°

OKBE,∴∠BOK=∠BAE=∠BCE=45°,∴∠OBK=45°,∴∠BGH=45°.

∵∠AHB=90°,∴△GHB为等腰直角三角形.

∵∠TGQ=∠BGH=45°,∠QTG=90°,QG=4,∴QT=

ABC≌△AFB,∴∠CBA=∠FBA=45°.

∵∠GBH=45°,∴∠ABG=∠FBH

FH=GF,∴tan∠EBF=

DAE=EBF=∠ABQ,∴tanDAE=tan∠TAQ=tan∠ABQ =,∴,∴AT=2QT=,∴AQ=

∵∠QAR=∠ECB=45°,∴AR=RQ=,∴BR=2RQ=,∴AB=AR+BR=

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(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=80°,∠ADC=140°,对角线BD平分∠ABC.

求证:BD是四边形ABCD的“相似对角线”;

(3)如图3,已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”,∠EFH=∠HFG=30°,连接EG,若EFG的面积为2,求FH的长.

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A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3

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