Question

4．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线交于点F，连接EF与CD交于点G、与对角线BD相交于点H
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）若BD=BF，求BE²的长；
（3）若∠ADE=2∠BFE，求证：HF=HE+HD．

Answer 1

分析 （1）先求得∠ADE=90°-∠EDC=∠CDF，然后根据AAS即可证得△ADE≌△CDF；
（2）根据△ADE≌△CDF求得AE=CF=$\sqrt{2}$-1，进而求得BE=AB-AE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，即可求得BE²的长；
（3）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，且FD⊥DE，
∴∠ADE=90°-∠EDC=∠CDF，AD=DC，∠A=∠DCF=90°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{∠A=∠DCF=90°}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（AAS）；

（2）解：∵△DAE≌△DCF，
∴AE=CF．
又∵BD=BF=$\sqrt{2}$，
∴AE=CF=BF-BC=$\sqrt{2}$-1，
∴BE=AB-AE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
∴BE²=（2-$\sqrt{2}$）²=6-4$\sqrt{2}$；

（3）证明：如图，在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由（1）知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠DEH=∠DFI}\\{EH=FI}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=$\frac{1}{2}$∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．