Question

【题目】如图，直线AB：y=﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．

（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）直线EF：y=2x﹣k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A（6，0）代入直线AB解析式可得：0=﹣6﹣b，

解得：b=﹣6，

∴直线AB 解析式为y=﹣x+6，

∴B点坐标为：（0，6）

（2）

解：∵OB：OC=3：1，

∴OC=2，

∴点C的坐标为（﹣2，0），

设BC的解析式是y=ax+c，代入得； ，

解得： ，

∴直线BC的解析式是：y=3x+6

（3）

解：过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．

∵S△EBD=S△FBD，

∴DE=DF．

又∵∠NDF=∠EDM，

∴△NFD≌△EDM，

∴FN=ME，

联立得 ，

解得：yE=﹣ k+4，

联立 ，

解得：yF=﹣3k﹣12，

∵FN=﹣yF，ME=yE，

∴3k+12=﹣ k+4，

∴k=﹣2.4；

当k=﹣2.4时，存在直线EF：y=2x+2.4，使得S△EBD=S△FBD．

【解析】（1）将点A（6，0）代入直线AB的解析式，可得b的值，继而可得点B的坐标；（2）设BC的解析式是y=ax+c，根据B点的坐标，求出C点坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；（3）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°，有题目的条件证明△NFD≌△EDM，进而得到FN=ME，联立直线AB：y=﹣x﹣b和y=2x﹣k求出交点E和F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值；
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小，以及对一次函数的图象和性质的理解，了解一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．