Question

17．已知抛物线y=ax²+x+2（a≠0）
（1）若抛物线经过（-1，0），求a的值，并写出它的顶点坐标
（2）当a取a₁时，抛物线与x轴正半轴交于点A（m，0），当a取a₂时，抛物线与x轴交于点B（n，0），若点A在点B左边，试比较a₁与a₂的大小．

Answer 1

分析 （1）将点（-1，0）代入可得a的值，再将解析式配方成顶点式即可得出答案；
（2）将a=a₁，x=m代入y=ax²+x+2中，可求a₁，同理可求a₂，利用作差法求a₁-a₂，并化简，根据点A，B在x轴的正半轴上，且点A在点B的左边，得0＜m＜n，由此判断a₁-a₂的符号，判断a₁与a₂的大小．

解答 解：（1）将点（-1，0）代入得：a-1+2=0，
解得：a=-1，
∴y=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；

（2）方法一：∵当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点A（m，0），
∴0=a₁m²+m+2①，
∵当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点B（n，0），
∴0=a₂n²+n+2②，
∴a₁=$\frac{-m-2}{{m}^{2}}$，a₂=$\frac{-n-2}{{n}^{2}}$，
∴a₁-a₂=$\frac{-m-2}{{m}^{2}}$-$\frac{-n-2}{{n}^{2}}$=$\frac{-m{n}^{2}-2{n}^{2}+n{m}^{2}+2{m}^{2}}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{mn（m-n）+2（m+n）（m-n）}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{（mn+2m+2n）（m-n）}{{m}^{2}{n}^{2}}$，
∵点B在点A的左边，且A、B均在x轴正半轴，
∴m＞0，n＞0，m＜n，
∴mn+2m+2n＞0，m-n＜0，m²n²＞0，
∴a₁-a₂=$\frac{（mn+2m+2n）（m-n）}{{m}^{2}{n}^{2}}$＜0，
∴a₁＜a₂．
方法二：
抛物线y=ax²+x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$，
当a＞0时，x=-$\frac{1}{2a}$＜0，
此时，抛物线y=ax²+x+2的对称轴在y轴的左侧，
又∵抛物线y=ax²+x+2与y轴相交于点（0，2），
∴抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴无交点．
∴a＞0不合题意；
当a＜0时，即a₁＜0，a₂＜0．
经过点A的抛物线y=a₁x²+x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{2{a}_{1}}$，
经过点B的抛物线y=a₂x²+x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{2{a}_{2}}$，
∵点A在点B的左边，且抛物线经过点（0，2），
（此时两条抛物线如图所示）．

∴直线x=-$\frac{1}{2{a}_{1}}$在直线x=-$\frac{1}{2{a}_{2}}$的左侧，
∴-$\frac{1}{2{a}_{1}}$＜-$\frac{1}{2{a}_{2}}$，
∴a₁＜a₂．

点评 本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线解析式求函数最大值，确定函数的正整数值，再根据函数的正整数值求对应的x值，根据函数式求a₁，a₂的表达式，利用作差法比较a₁，a₂的大小．