Question

已知，平行四边形ABCD，∠A的平分线分对边CD为5m和4m两段，∠A的余弦是

3

5

，则平行四边形的面积是

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：根据题意画出图形，分两种情况讨论：（1）当DF=5m时；（2）当DF=4m时．证出AD=DF，求出AD的长，根据三角函数和勾股定理求出DE的长，计算面积即可．

解答：解：（1）如图1，当DF=5m时，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DF=5m，
∵cos∠DAB=

3

5

，
∴

AE

AD

=

3

5

，
∴

AE

5

=

3

5

，
∴AE=3，
在Rt△AED中，DE=

52-32

=4，
S_{平行四边形ABCD}=9×4=36cm²．
（2）如图1，当DF=4m时，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DF=4m，
∵cos∠DAB=

3

5

，
∴

AE

AD

=

3

5

，
∴

AE

4

=

3

5

，
∴AE=

12

5

，
在Rt△AED中，DE=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
S_{平行四边形ABCD}=9×

16

5

=

144

5

cm²．
故答案为36或

144

5

cm²．

点评：本题考查了平行四边形的性质，涉及勾股定理、三角函数、等腰三角形的性质等知识，要注意分类讨论．