Question

一次函数y=-

4

3

x+4与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，在所有满足条件的点C中任取一点，该点落在以原点为圆心，5为半径的圆内的概率是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：根据自变量为零时，可得函数与y轴的交点，函数值为零时，可得自变量的值，根据勾股定理，可得AB的长．根据等腰三角形的定义，可得两边相等．
分类讨论：①当C在x轴上时，当AC=AB，AB=BC，BC=AC；②当C在y轴上时，当BC=AB=5时，AC=AB，BC=AC，可得C点坐标．再根据C点到原点的距离小于5的个数比上C点的总个数，可得答案．

解答：解：当x时，y=4，即B点坐标是（0，4），
当y=0时，-

4

3

x+4=0，解得x=3，即A点坐标是（3，0），
由勾股定理，得AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
①当C在x轴上时，当AC=AB=5时，3+5=8，即C₁（8，0），3-5=-2，即C₂（-2，0）；
当AB=BC时，C₃（-3，0）；
当BC=AC时，即BC²=AC²，设C点坐标为（a，0），
（a-3）²=a²+4²．化简，得-6a=7．
解得a=-

7

6

，即C₄（-

7

6

，0）；
②当C在y轴上时，当BC=AB=5时，4+5=9，即C₅（0，9），4-5=-1，即C₆（0，-1）；
当AC=BC时，C点与B点关于原点对称，得C₇（0，-4）；
当BC=AC时，即BC²=AC²，设C点坐标为（0，b），
（b-4）²=3²+b²．
化简，得
-8b=-7．解得b=

7

8

，即C₈（0，

7

8

）．
C点共有8个，C点与原点的距离小于或等于5的点有C₂，C₃，C₄，C₆，C₇，C₈，即6个，
C点落在以原点为圆心，5为半径的圆内的概率是

6

8

=

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查了一次函数的综合题，分类讨论是解题关键，还利用了概率的意义．