Question

已知AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点，BD是⊙O的直径，连接AO、CD．
（1）求证：OA∥CD；
（2）过D点作DE∥AC，分别交AB、AO于E、F，若AB=BD，求

BE

BD

的值．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）连结BC，如图，根据圆周角定理由BD是⊙O的直径得到∠BCD=90°，再根据切线长定理得到AB=AC，OA平分∠BAC，则利用等腰三角形的性质得OA⊥BC，于是根据平行线的判定方法得到OA∥CD；
（2）AC和BD的延长线交于点G，BC与OA相交于点H，如图，设AB=BD=2a，则AC=2a，根据切线的性质得OB⊥AB，OC⊥AC，在Rt△OAB中，利用勾股定理可计算出OA=

5

a，再利用面积法计算出BH=

2 5

5

a，则BC=2BH=

4 5

5

a；在Rt△BCD中，根据勾股定理计算出CD=

2 5

5

a，然后证明△GCD∽△GAO，利用相似比可计算出GD=

2

3

a，则BG=BD+DG=

8

3

a，接着根据平行线分线段成比例由DE∥AG得到

BE

BA

=

BD

BG

，再利用比例性质可计算出

BE

BD

的值．

解答：（1）证明：连结BC，如图，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AB=AC，OA平分∠BAC，
∴OA⊥BC，
∴OA∥CD；
（2）解：AC和BD的延长线交于点G，BC与OA相交于点H，如图，
设AB=BD=2a，则AC=2a，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
在Rt△OAB中，∵OB=a，AB=2a，
∴OA=

OB2+AB2

=

5

a，
∵

1

2

BH•OA=

1

2

OB•AB，
∴BH=

OB•AB

OA

=

a•2a

5 a

=

2 5

5

a，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=

4 5

5

a，
在Rt△BCD中，CD=

BD2-BC2

=

(2a)2-( 4 5 5 a)2

=

2 5

5

a，
∵CD∥OA，
∴△GCD∽△GAO，
∴

GD

GO

=

CD

OA

，即

GD

GD+a

=

2 5 5 a

5 a

，
∴GD=

2

3

a，
∴BG=BD+DG=2a+

2

3

a=

8

3

a，
∵DE∥AG，
∴

BE

BA

=

BD

BG

，
∴

BE

BD

=

BA

BG

=

2a

8 3 a

=

3

4

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．