Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x²-

5

2

x与x轴交于点O，A两点，点P在抛物线上，∠APO=90°，求P点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据抛物线解析式求得点A的坐标；然后利用勾股定理和抛物线上点的坐标特征来求点P的坐标．

解答：解：∵y=

1

2

x²-

5

2

x=

1

2

x（x-5），抛物线y=

1

2

x²-

5

2

x与x轴交于点O，A两点，
∴A（5，0），
∴OA=5．
设P（x，

1

2

x²-

5

2

x）．
∵∠APO=90°，
∴OA²=PA²+PO²，即5²=（x-5）²+（

1

2

x²-

5

2

x）²+x²+（

1

2

x²-

5

2

x）²，
整理，得
x²（x+10）（x-1）=0，
解得 x₁=x₂=0，x₃=-10，x₄=1，
当x₁=x₂=0时，y=0，即（0，0）与原点重合，舍去；
当x₃=-10时，y=

1

2

×（-10）²-

5

2

×（-10）=75，即P（-10，75）．
当x₄=1时，y=

1

2

-

5

2

=-2，即P（1，-2）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（-10，75）或（1，-2）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题时，利用了勾股定理求得关于x的方程，通过解方程求得点P的横坐标．