Question

在三角形ABC中，AD是中线，GD=

1

3

AD．
求证：BF、CE是中线．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：证明题

分析：过点D作DH∥AB交CF于H，如图，利用AF∥DH可判断△AFG∽△DHG，利用相似比可得AF=2GD，再利用DH∥BF得到△CDH∽△CBF，利用相似比可得BF=2DH，则AF=BF，于是可说明CF为中线，用同样的方法可得BE为中线．

解答：证明：过点D作DH∥AB交CF于H，如图，
∵AF∥DH，
∴△AFG∽△DHG，
∴

AF

DH

=

AG

GD

，
∵GD=

1

3

AD，
∴AG=2GD，
∴

AF

GD

=2，即AF=2GD，
∵DH∥BF，
∴△CDH∽△CBF，
∴

DH

BF

=

CD

CB

，
而AD为中线，
∴BC=2CD，
∴BF=2DH，
∴AF=BF，
∴CF为中线，
同理可得BE为中线．

点评：本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．