在平面直角坐标系中.O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上.点B的坐标为(2.4).∠OBA=90°．一条抛物线经过O.A.B三点.直线AB与抛物线的对称轴交于点Q．(1)如图1.求经过O.A.B三点的抛物线解析式．(2)如图2.在A.B两点之间的抛物线上有一动点P.连结AP.BP．设点P的横坐标为m.△ABP的面积S.请求出S与m之间的函数关系式.并求出S取得最大值时点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），∠OBA=90°．一条抛物线经过O，A，B三点，直线AB与抛物线的对称轴交于点Q．
（1）如图1，求经过O，A，B三点的抛物线解析式．
（2）如图2，在A，B两点之间的抛物线上有一动点P，连结AP，BP．设点P的横坐标为m，△ABP的面积S，请求出S与m之间的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．
（3）如图3，将△OAB沿射线BA方向平移得到△DEF．在平移过程中，以A，D，Q为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请求出此时点D的坐标（点O除外）；如果不能，请说明理由．

分析（1）根据勾股定理，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标，E点坐标，根据线段的和差，可得PE的长，A到PE的距离，B到PE的距离，根据三角形的面积公式，可得答案；根据顶点坐标，可得m的值，可得P点坐标；
（3）根据等腰三角形，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标．

解答解：（1）设A（a，0），由勾股定理，得
（a-2）²+4²+2²+4²=a²，
解得a=10，即A（10，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将A、B点坐标，得
$\left\{\begin{array}{l}{100a+10b=0}\\{4a+2b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x；
（2）如图：
作PC⊥x轴于C点，交AB与E，
AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
设P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m），E（m，-$\frac{1}{2}$m+5）．
PE=y_P-y_E=-$\frac{1}{4}$m²+3m-5，
S=$\frac{1}{2}$PE•（x_A-x_E）+$\frac{1}{2}$PE（x_E-x_B）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+3m-5）×（10-2），
化简，得
S=-m²+12m-20，当m=6时，S_最大=16，
当S取得最大值时点P的坐标为（6，6）；
（3）Q点的坐标为（5，$\frac{5}{2}$），D点在过O点且平行AB的直线上y=-$\frac{1}{2}$x上，设D（a，-$\frac{1}{2}$a）．
AD²=（10-a）²+$\frac{1}{4}$a²，AQ²=25+$\frac{25}{4}$=$\frac{125}{4}$，QD²=（a-5）²+（-$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$）²．
①当AD=AQ时，（10-a）²+$\frac{1}{4}$a²=$\frac{125}{4}$，解得a₁=11，a₂=5，
当a=11时，-$\frac{1}{2}$a=-$\frac{11}{2}$，即D₁（11，-$\frac{11}{2}$）；当a=5时，-$\frac{1}{2}$a=-$\frac{5}{2}$，即D₂（5，-$\frac{5}{2}$）；
②当AD=QD时，（10-a）²+$\frac{1}{4}$a²=（a-5）²+（-$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$）²，
解得a=$\frac{11}{2}$，-$\frac{1}{2}$a=-$\frac{11}{4}$，即D₄（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）
③当AQ=QD时，（a-5）²+（-$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$）²=$\frac{125}{4}$，解得a=6，-$\frac{1}{2}$a=-3，即D₃（6，-3），
综上所述：以A，D，Q为顶点的三角形能成为等腰三角形，D点的坐标为D₃（6，-3），D₂（5，-$\frac{5}{2}$），D₁（11，-$\frac{11}{2}$），D₄（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）．

点评本题考查了了二次函数综合题，利用勾股定理得出A点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；了用自变量与函数值的对应关系得出P，E点坐标，利用线段的和差得出PE的长，A到PE的距离，B到PE的距离是解题关键，又利用了二次函数的性质；利用等腰三角形的定义得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

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