Question

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-4，0）、点B（0，-8），直线AC与y轴交于点C（0，-4）．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E．
（l）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）若四边形PBCD为平行四边形，求点P的坐标．
（3）求点E横坐标的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据待定系数法求出直线AC的解析式，设点P（m，m²+2m-8），用含m的式子表示出点D，将它们的纵坐标相减，用含m的式子表示出PD的长度，根据平行四边形的对边平行且相等，得PD=BC，求出m的值，即可求出点P的坐标；
（3）由题意，可知OA=OC，得到∠ACO=45°，根据平行线的性质及三角形的内角和，可得∠PDE=∠DPE=45°，进而得△DPE是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一和直线三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：EF=$\frac{1}{2}$PD，用含m的式子表示出点E的横坐标，根据二次函数的最大值，即可解答．

解答 解：（1）抛物线y=x²+bx+c经过点A（-4，0），点B（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=0}\\{c=-8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=x²+2x-8；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，点A（-4，0），点C（0，-4）在直线AC上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AC所对应的函数表达式为：y=-x-4；
∵点P在抛物线y=x²+2x-8上，
∴设点P（m，m²+2m-8），
∵PD∥y轴，
∴点D（m，-m-4），
∴PD=-m-4-（m²+2m-8）=-m²-3m+4，
∵四边形PBCD是平行四边形，
∴PD=BC，即-m²-3m+4=4，解得：m₁=0，m₂=-3，
∵点P不与点B重合，
∴m=-3，
∴P（-3，-5）；
（3）∵点A（-4，0），点C（0，-4），
∴OA=OC，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∵PD∥y轴，
∴∠PDE=∠ACO=45°，
∵PE⊥AC于点E，
∴∠PED=90°，
∴∠PDE=∠DPE=45°，
设点E的横坐标为n，如图，
过点E作EF⊥PD于点F，
∵△DPE是等腰直角三角形，
∴EF=$\frac{1}{2}$PD，即n-m=$\frac{1}{2}$PD，
∴n=m+$\frac{1}{2}$PD=m+$\frac{1}{2}$（-m²-3m+4）=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{8}$，
∵-4＜m＜0，
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，n最大，且n的最大值为$\frac{17}{8}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，第（2）小题熟记平行四边形的对边平行且相等是解决此题的关键，第（3）小题，考查了等腰三角形和直线三角形的性质，能够将等腰三角形的三线合一和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半联系起来是解决此题的关键．