Question

【题目】已知二次函数y1=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（n，0）两点，一次函数y2=2x+b的图象过点A．

（1）若a=．

①若二次函数y1=ax2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，求△ABC的面积；

②设y3=y1﹣my2，是否存在正整数m，当x≥0时，y3随x的增大而增大？若存在，求出正整数m的值；若不存在，请说明理由．

（2）若＜a＜，求证：﹣5＜n＜﹣4．

Answer 1

【答案】（1）①；②存在，m=1；（2）见解析

【解析】

（1）①将点A坐标代入解析式可求b=2，c=2﹣a，即可求抛物线解析式，可求点C，点B坐标，由三角形的面积公式可求解；

②由y3=x2+2x+﹣m（2x+2）=x2+（2﹣2m）x+（﹣2m），由二次函数的性质可求m≤1，即可求解；

（2）y1=ax2+2x+（2﹣a）的对称轴为x=﹣=﹣，由＜a＜，可得﹣3＜﹣＜﹣，又A（﹣1，0）、B（n，0）两点关于对称轴对称，则|﹣1﹣（﹣）|=|﹣﹣n|，即可求解．

解：（1）①∵y1=ax2+bx+c（a＞0）过点A，

∴a﹣b+c=0，

∵y2=2x+b的图象过点A，

∴b=2，

∴c=2﹣a；

∵a=，

∴c=2﹣，

∴y1=x2+2x+，

∵二次函数y1=x2+2x+与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（n，0）两点，

∴点C（0，），点B（﹣3，0），

∴AB=2，

∴△ABC的面积=×2×；

②y3=x2+2x+﹣m（2x+2）=x2+（2﹣2m）x+（﹣2m），

∵在x≥0时，y3随x的增大而增大，

∴对称轴x=﹣=2m﹣2≤0，

∴m≤1，

∵m是正整数，

∴m=1；

（2）∵y1=ax2+2x+（2﹣a）的对称轴为x=﹣=﹣，

又∵＜a＜，

∴﹣3＜﹣＜﹣，

又∵A（﹣1，0）、B（n，0）两点关于对称轴对称，

∴|﹣1﹣（﹣）|=|﹣﹣n|，

∴n=﹣+1或n=﹣1（舍去），

∴﹣5＜n＜﹣4．