Question

3．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是否为平行四边形？请证明你的结论．
（3）若AE=5，求四边形AECF的周长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质与四边形ABCD是平行四边形，易证得∠D′=∠B，AB=AD′，∠1=∠3，继而证得：△ABE≌△AD′F；
（2）由折叠的性质与△ABE≌△AD′F，可证得AF=EC，然后由AD∥BC，证得四边形AECF是菱形；
（3）由四边形AECF是菱形，AE=5，根据菱形的四条边都相等，即可求得其周长．

解答 （1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．
∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，
即∠1+∠2=∠2+∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABE和△AD′F中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D′=∠B}\\{AB=AD′}\\{∠1=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AD′F（ASA）．

（2）四边形AECF是菱形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵△ABE≌△AD′F，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AF=AE，
∴平行四边形AECF是菱形．

（3）∵四边形AECF是菱形，AE=5，
∴四边形AECF的周长为：4×5=20．

点评 此题考查了折叠的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．