Question

6．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x²+mx+1的顶点为D，与y轴相交于点A，过点A作AD的垂线交x轴于点C，交抛物线的对称轴于点E，且与抛物线的另一个交点为B．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）分别求点B，E的坐标；
（3）在对称轴上找一点P，使得以P，B，E为顶点的三角形与△AOC相似，求满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴方程即可求解；
（2））由y=x²-4x+1=（x-2）²-3，得到顶点的坐标，与y轴交点的坐标，通过三角形相似，列比例式求得OC的长度，得到点C的坐标，求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，联立方程组求出点B的坐标；
（3）当BP⊥DE时，△EPB∽△AOC，得到P点的坐标（2，$\frac{13}{4}$），求出PB=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$，PE=$\frac{13}{4}$-2=$\frac{5}{4}$，由勾股定理解出BE的长度，如图2，当PB⊥BE时，△EBP∽△AOC，得到比例式$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BE}{AO}$，由①知BE=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，求出AC=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，解出PE=$\frac{25}{4}$，求得点P的纵坐标为2+$\frac{25}{4}$=$\frac{33}{4}$，进一步求出P（2，$\frac{33}{4}$）．

解答 解：（1）由题意得；-$\frac{m}{2}$=2，解得m=-4，
∴抛物线对应的函数解析式为：y=x²-4x+1，
（2）由y=x²-4x+1=（x-2）²-3，得：D（2，-3），A（0，1），如图1，过点D作DF⊥y轴于F，
则DF=2，AF=OA+OF=1+3=4，
∵AB⊥AD，
∴∠CAO+∠FAD=90°，
∵∠ADF+∠FAD=90°，
∴∠CAO=∠ADF，
∴△CAO∽△ADF，
∴$\frac{CO}{AF}$=$\frac{OA}{DF}$，即$\frac{CO}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=2，∴C（-2，0），
设直线AC对应的函数解析式为y=kx+1，则-2x+1=0，∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线AC对应的函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴当x=2时，y=$\frac{1}{2}$×2+1=2，
∴点E的坐标为（2，2），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y{=x}^{2}-4x+1}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{9}{2}$，$\frac{13}{4}$）；

（3）①如图1，当BP⊥DE时，△EPB∽△AOC，
此时P点的坐标（2，$\frac{13}{4}$），
∴PB=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$，PE=$\frac{13}{4}$-2=$\frac{5}{4}$，
∴$BE=\sqrt{{（\frac{5}{2}）}^{2}{+（\frac{5}{4}）}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
②如图2当PB⊥BE时，△EBP∽△AOC，
∴$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BE}{AO}$，由①知BE=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵$AC=\sqrt{{AO}^{2}{+CO}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PE}{\sqrt{5}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴PE=$\frac{25}{4}$，
∴点P的纵坐标为2+$\frac{25}{4}$=$\frac{33}{4}$，
∴P（2，$\frac{33}{4}$）．
综上所述：当点P的坐标为 （2，$\frac{13}{4}$）或（2，$\frac{33}{4}$）时，以P，B，E为顶点的三角形与△AOC相似．

点评 本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．