Question

17．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？
（2）设△PQD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt△ABC的面积的$\frac{1}{4}$？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质可知CQ=CP，解得结果；
（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，易得Rt△AQF∽Rt△ABC，由相似三角形的性质可得$\frac{QF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，可得QF，BE，同理可得PE，BE，利用三角形的面积公式可得y与t之间的函数关系式，由△PQD的面积是Rt△ABC的面积的$\frac{1}{4}$，可解得t；
（3）由勾股定理可得QD²，PD²，PQ²，因为PD⊥QD，利用勾股定理可得PQ²=QD²+PD²，解得t．

解答 解：（1）∵△PQC是等腰直角三角形，
∴CQ=CP，
∴8-2t=6-t
t=2 （秒）；

（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，
∵∠A=∠A，∠AFQ=∠ACB=90°，
∴Rt△AQF∽Rt△ABC，
∴$\frac{QF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∵BC=6，AC=8，AB=10，AQ=2t，
∴QF=$\frac{6}{5}t$，AF=$\frac{8}{5}$t
同理可得：PE=$\frac{4}{5}t$，BE=$\frac{3}{5}t$，
∴y=$\frac{1}{2}×6×8$-$\frac{1}{2}×（6-t）$×（8-2t）-$\frac{1}{2}×5×\frac{6}{5}t$$-\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}t$=-t²+5t；
∵△PQD的面积是Rt△ABC的面积的$\frac{1}{4}$，
∴-t²+5t=6，解得：t₁=3，t₂=2，
答：当t=3秒或t=2秒时，△PQD的面积是Rt△ABC的面积的$\frac{1}{4}$；

（3）∵${QD}^{2}{=（\frac{6}{5}t）}^{2}{+（5-\frac{8}{5}t）}^{2}$，
同理可得：${PD}^{2}{=（\frac{4}{5}t）}^{2}{+（5-\frac{3}{5}t）}^{2}$，PQ²=（8-2t）²+（6-t）²，
当PD⊥QD时，PQ²=QD²+PD²，
此时，t=$\frac{25}{11}$ （秒），
答：当t=$\frac{25}{11}$时，PD⊥QD．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质和勾股定理等，作出恰当的辅助线利用相似三角形的判定及性质是解答此题的关键．