如图.在平面直角坐标系中.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点.B点的坐标为(3.0).与y轴交于点C.点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．(1)求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．(2)连接PO.PC.并将△POC沿y轴对折.得到四边形POP′C.如果四边形POP′C为菱形.求点P的坐标．(3)如果点P在运动过程中.能使得以P.C.B为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x²+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．

解答解：（1）将B、C点代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
这个二次函数y=x²+bx+c的解析式为y=x²-2x-3；
（2）四边形POP′C为菱形，得
OC与PP′互相垂直平分，得
y_P=$\frac{OC}{2}$-$\frac{3}{2}$，即x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$，
解得x₁=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，x₂=$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$（舍），P（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
（3）∠PBC＜90°，
①如图1，
当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，
BC的解析式为y=x-3，CP的解析式为y=-x-3，
设点P的坐标为（m，-3-m），
将点P代入代入y═x²-2x-3中，
解得m₁=0（舍），m₂=1，即P（1，-4）；
AO=1，OC=3，CB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CP=$\sqrt{{1}^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
此时$\frac{BC}{OC}$=$\frac{CP}{AO}$=3，△AOC∽△PCB；
②如图2，
当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，
BC的解析式为y=x-3，CP的解析式为y=$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$x-3，
设点P的坐标为（m，m²-2m-3），
由K_cp•K_pb=-1，得m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）
此时，$\frac{PC}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$≠$\frac{CO}{AO}$=3，
以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，-4）．

点评本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键．

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17．

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？
（2）设△PQD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt△ABC的面积的$\frac{1}{4}$？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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14．

王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB．
请回答：
（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB．
（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC²=AB²+AB•BC．求∠C的度数．

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1．画一画（不写画法，保留作图痕迹）．
（1）已知：如图1，线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．
（2）如图2，将矩形MNPQ以Q为位似中心相似比为0.5进行位似变换，画出变换后的图形．