Question

14．王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB．
请回答：
（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB．
（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC²=AB²+AB•BC．求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠A=∠A，当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$时，△ACP∽△ABC；
（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，由已知条件得出证出$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，由∠A=∠A，证出△ACB∽△ADC，得出对应角相等∠ACB=∠D，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，得出∠ACB=50°即可．

解答 解：∵∠A=∠A，
∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；
或$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，即AC²=AP•AB时，△ACP∽△ABC；
故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB；
（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC²=AP•AB；理由如下：
∵∠A=∠A，
∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；
或$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，即AC²=AP•AB时，△ACP∽△ABC；
故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB；
（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：
∵AC²=AB²+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠ACB+30°=180°，
∴∠ACB=50°．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；本题中（2）有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形相似才能得出结果．