数学活动:擦出智慧的火花---由特殊到一般的数学思想．数学课上.李老师出示了问题:如图1.四边形ABCD是正方形.点E是边BC上的点.过点E作EF⊥AE.过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．．(1)求证:∠BAE=∠FEG．(2)同学们很快做出了解答.之后李老师将题目修改成:如图2.四边形ABCD是正方形.点E是边BC的中点．∠AEF=90°.且EF交正方形外角∠DCG� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．数学活动：擦出智慧的火花---由特殊到一般的数学思想．
数学课上，李老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，过点E作EF⊥AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．．
（1）求证：∠BAE=∠FEG．
（2）同学们很快做出了解答，之后李老师将题目修改成：如图2，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．请借助图1完成小明的证明；
在（2）的基础上，同学们作了进一步的研究：
（3）小聪提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小聪的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

分析（1）根据∠AEF=90°，即可得到∠AEB+∠FEG=90°，在直角△ABE中，利用三角形内角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°，然后根据同角的余角相等，即可证得；
（2）作AB的中点M，连接ME，根据ASA即可证明△AME≌△ECF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（3）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，同（2）根据ASA即可证明△AME≌△ECF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得．

解答解：（1）∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
又∵直角△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG；
（2）作AB的中点M，连接ME．
∵正方形ABCD中，AB=BC，
又∵AM=MB=$\frac{1}{2}$AB，BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴MB=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
又∵∠ECF=180°-∠FCG=180°-45°=135°．
∴∠AME=∠ECF，
∴在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FEC}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF，
∴AE=EF；
（3）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FEC}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

点评本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，要注意题目之间的联系，正确作出辅助线构造全等的三角形是本题的关键．

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