Question

7．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c过点A、B且与y轴交与点C（0，3），点P为抛物线对称轴x=l上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AP+CP最小时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把C（0，3）代入y=ax²+2x+c可求得c=3，再利用对称轴方程可求出a=-1，于是得到抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程-x²+2x+3=0得到A（-1，0），B（3，0），连结BC交直线x=1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PC+PA最小，利用待定系数法可计算出直线BC的解析式为y=-x+3，然后计算x=1的函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）把C（0，3）代入y=ax²+2x+c得c=3，
因为抛物线的对称轴为直线x=1，
所以-$\frac{2}{2a}$=1，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，则A（-1，0），B（3，0），
连结BC交直线x=1于点P，连接PA，如图，
∵PA=PB，
∴PA+PC=PC+PB=BC，
∴此时PC+PA最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-x+3=2，
∴P点坐标为（1，2）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．