【题目】如图,D为直角△ABC中斜边AC上一点,且AB=AD,以AB为直径的⊙O交AD于点F,交BD于点E,连接BF,BF.
(1)求证:BE=FE;
(2)求证:∠AFE=∠BDC;
(3)已知:sin∠BAE=,AB=6,求BC的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)BC=12.
【解析】
(1)连接AE,由AB是直径知AE⊥BD,结合AB=AD知∠BAE=∠DAE,依据∠EBF=∠DAE,∠BFE=∠BAE可得∠EBF=∠BFE,据此即可得证;
(2)由AB=AD知∠ABD=∠2,结合∠1=∠ABD知∠1=∠2,根据∠1+∠AFE=∠2+∠BDC=180°即可得出∠AFE=∠BDC;
(3)作DG⊥BC,由sin∠BAE=,AB=AD=6知DE=BE=2,BD=4,再证∠DBG=∠BAE得DG=BDsin∠DBG=4,BG=4,证△CDG∽△CAB得=,据此计算可得答案.
(1)如图,连接AE,
∵AB是圆的直径,
∴∠AEB=90°,即AE⊥BD,
∵AB=AD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵∠EBF=∠DAE,∠BFE=∠BAE,
∴∠EBF=∠BFE,
∴BE=EF;
(2)∵AB=AD,
∴∠ABD=∠2,
∵∠1=∠ABD,
∴∠1=∠2,
又∵∠1+∠AFE=∠2+∠BDC=180°,
∴∠AFE=∠BDC;
(3)如图,过点D作DG⊥BC于点G,
∵sin∠BAE=,AB=AD=6,
∴DE=BE=2,
∴BD=4,
又∵∠DBG+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°,
∴∠DBG=∠BAE,
∴DG=BDsin∠DBG=4×=4,
∴BG=4,
∵DG∥AB,
∴△CDG∽△CAB,
∴=,即=,
解得:BC=12.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(﹣2,0),对称轴为直线x=1.有以下结论:①abc>0;②7a+c<0;③a+b≤m(am+b)(m为任意实数)④若A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;⑤若方程a(x+2)(4﹣x)=﹣1的两根为x1,x2,且x1<x2,则﹣2≤x1<x2<4.其中正确结论的个数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】如图,在中,,,,点是线段上任意一点,过点作交于点,过点作交于点,过点作交于点.设线段的长为.
(1)用含的代数式表示线段的长.
(2)当四边形为菱形时,求的值.
(3)设与矩形重叠部分图形的面积为,求与之间的函数关系式.
(4)连结、,当与垂直或平行时,直接写出的值.
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【题目】如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,其中点A(5,4),B(1,3),将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1.
(2)在旋转过程中点B所经过的路径长为_______.
(3)求在旋转过程中线段AB扫过的图形的面积.
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【题目】在△ABN中,∠B =90°,点M是AB上的动点(不与A,B两点重合),点C是BN延长线上的动点(不与点N重合),且AM=BC,CN=BM,连接CM与AN交于点P.
(1)在图1中依题意补全图形;
(2)小伟通过观察、实验,提出猜想:在点M,N运动的过程中,始终有∠APM=45°.小伟把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的一种思路:
要想解决这个问题,首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形,证明线段相等,再构造平行四边形,证明线段相等,进而证明等腰直角三角形,出现45°的角,再通过平行四边形对边平行的性质,证明∠APM=45°.
他们的一种作法是:过点M在AB下方作MDAB于点M,并且使MD=CN.通过证明△AMD△CBM,得到AD=CM,再连接DN,证明四边形CMDN是平行四边形,得到DN=CM,进而证明△ADN是等腰直角三角形,得到∠DNA=45°.又由四边形CMDN是平行四边形,推得∠APM=45°.使问题得以解决.
请你参考上面同学的思路,用另一种方法证明∠APM=45°.
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【题目】在如图网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;
(2)若点B的坐标为(﹣3,5),试在图中画出直角坐标系,并直接写出A、C两点的坐标;
(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并直接写出点A2、B2、C2的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线经过,,三点.
求抛物线的解析式;
若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,∠AC平分∠BAD,连接BF.
(1)求证:AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半径.
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【题目】如图7,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,E是CD边上一点,连接BE,以BE为一边作等边三角形BEF.请用直尺在图中连接一条线段,使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形,并说明这两个三角形经过什么样的旋转可重合.
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