Question

9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AEDF是平行四边形，再证出∠FDA=∠FAD，得出AF=DF，即可得出结论．
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得△ABC是等腰直角三角形时，四边形AEDF是正方形．

解答 解：（1）当AB=AC时，四边形AEDF是菱形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠FDA；
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FDA=∠FAD，
∴AF=DF（等角对等边），
∴四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形AEDF是正方形．
由（1）可得：当AB=AC时，四边形AEDF是菱形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．

点评 此题主要考查了菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．