【题目】如图,已知直线∥AB,与 AB 之间的距离为 2 ,C、D 是直线上两个动点(点 C在 D 点的左侧),且 AB=CD=5.连接 AC、BC、BD,将△ABC 沿 BC 折叠得到△A′BC.若以 A′、C、B、D 为顶点的四边形为矩形,则此矩形相邻两边之和为____.
【答案】3或 7
【解析】
根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形,当∠CBD=90°,则∠BCA=90°,由于S△A1CB=S△ABC=5,则S矩形A′CBD=10,根据勾股定理和完全平方公式进行计算;当∠BCD=90°,则∠CBA=90°,易得BC=2,而CD=5可得计算出结果.
∵AB=CD=5,AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABDC的面积=2×5=10,
设矩形的边长分别为a,b,
当∠CBD=90°,
∵四边形ABDC是平行四边形,
∴∠BCA=90°,
∴S△A′CB=S△ABC=×2×5=5,
∴S矩形A′CBD=10,即ab=10,
而BA′=BA=5,
∴a2+b2=25,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=45,
∴a+b=3,
当∠BCD=90°时,
∵四边形ABDC是平行四边形,
∴∠CBA=90°,
∴BC=2,
而CD=5,
∴(a+b)2=(2+5)2=49,
∴a+b=7,
∴此矩形相邻两边之和为3或7.
故答案是:3或7.
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【题目】问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如 图 1,将:矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△ACD.并且量得 AB =4cm,AC=8cm.
操作发现:
(1)将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图 2 所示的△AC′D,过点 C 作 AC′的平行线,与 DC'的延长线 交于点 E,则四边形 ACEC′的形状是 .
(2)创新小组将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使 B、 A、D 三点在同一条直线上,得到如图 3 所示的△AC′D,连接 CC',取 CC′的中 点 F,连接 AF 并延长至点 G,使 FG=AF,连接 CG、C′G,得到四边形 ACGC′, 发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC 沿着 BD 方向平移,使点 B 与点 A 重合,此时 A 点平移至 A'点,A'C 与 BC′相交于点 H, 如图 4 所示,连接 CC′,试求 tan∠C′CH 的值.
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【题目】某商场计划购进A,B两种型号的手机,已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元,每部A型号手机的售价是2500元,每部B型号手机的售价是2100元.
(1)若商场用50000元共购进A型号手机10部,B型号手机20部,求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元?
(2)为了满足市场需求,商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部,且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍.
①该商场有哪几种进货方式?
②该商场选择哪种进货方式,获得的利润最大?
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣3过A(1,0),B(﹣3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为﹣2,点P(m,n)是线段AD上的动点.
(1)求直线AD及抛物线的解析式;
(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点P为AB边上一点,Q为BC边上一点,且∠BPQ=∠APC,过点A作AD⊥PC,交BC于点D,直线AD分别交直线PC、PQ于E、F.
(1)求证:∠FDQ=∠FQD;
(2)把△DFQ沿DQ边翻折,点F刚好落在AB边上点G,设PC分别交GQ、GD于M、N,试判定MN与EN的数量关系,并给予证明.
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【题目】振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售,若购进本甲种图书和本乙种图书共需元,若购进本甲种图书和本乙种图书共需元.
求甲、乙两种图书每本进价各多少元;
该书店购进甲、乙两种图书共本进行销售,且每本甲种图书的售价为元,每本乙种图书的售价为元,如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于元,那么该书店至少需要购进乙种图书多少本?
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【题目】在数学活动课上,老师提出了一个问题:把一副三角尺如图摆放,直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行,60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动,在这个运动过程中,有哪些变量,能研究它们之间的关系吗?
小林选择了其中一对变量,根据学习函数的经验,对它们之间的关系进行了探究.
下面是小林的探究过程,请补充完整:
(1)画出几何图形,明确条件和探究对象;
如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,D是线段AB上一动点,射线DE⊥BC于点E,∠EDF=60°,射线DF与射线AC交于点F.设B,E两点间的距离为xcm,E,F两点间的距离为ycm.
(2)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 6.9 | 5.3 | 4.0 | 3.3 | 4.5 | 6 |
(说明:补全表格时相关数据保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF为等边三角形时,BE的长度约为 cm.
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【题目】校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”,随机抽取了部分学生进行调查,下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图:
请你根据统计图回答下列问题:
(1)喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少?并请补全条形统计图;
(2)请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名?
(3)在扇形统计图中,“篮球”部分所对应的圆心角是多少度?
(4)篮球教练在制定训练计划前,将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈,请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线OB,AC相交于点D,且BE∥AC,AE∥OB.
(1)求证:四边形AEBD是菱形;
(2)如果OA=4,OC=2,求出经过点E的反比例函数解析式.
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