Question

【题目】如图，正方形中，，点在边上，且；将沿对折至，延长交边于点，连结、，下列结论中，正确的个数为（ ）

①；②；③；④

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先证明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），推出GB=GF，设BG=x，则GF=x，CG=BC-BG=3-x，在Rt△CGE中，GE=x+1，EC=2，CG=3-x，根据CG2+CE2=GE2，构建方程求出x即可判断①正确；

想办法证明∠AGB=∠GCF，即可判断②正确；

根据全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG．得出③正确；

只要证明，得出可得S△FCG=S△EGC，由此即可判断④正确；

①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=3，∠B=∠D=90°，

∵CD=3，CE=2DE，

∴DE=1，

∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，

∴DE=EF=1，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，

∴AF=AB，

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AG=AG，AB=AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．

∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．

设BG=x，则CG=BC-BG=3-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+1．

在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．

∵CG=3-x，CE=2，EG=x+1，

∴(3-x)2+22=(x+1)2，

解得：x=

∴BG=GF=CG=

即BG=CG，①正确；

②∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，

∴△DAE≌△FAE．

∴∠DAE=∠FAE．

∵△ABG≌△AFG，

∴∠BAG=∠FAG．

∵∠BAD=90°，

∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°

∴②正确．

∵CG=GF，

∴∠CFG=∠FCG．

∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，

∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．

∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，

∴∠AGB=∠FCG．

∴AG∥CF．

∴③正确；

④∵EF=DE=1，GF=

∴EG=

∴

∴S△FGC=S△EGC=

∴正确．

故选：D