【题目】已知:在中,
,
,点
为
上一动点,以
为边,在
的右侧作等边
.
(1)当平分
时,如图1,四边形
是________形;
(2)过作
于
,如图2,求证:
为
的中点;
(3)若.
①当为
的中点时,过点
作
于
,如图3,求
的长;
②点从
点运动到
点,则点
所经过路径长为________(直接写出结果).
【答案】(1)菱;(2)见解析;(3)①,②
【解析】
(1)根据角平分线的定义求出∠BAD=∠DAC=∠CAE=30°,进而得到AE∥BC,AE=AD=DC,根据菱形的判定定理可得结论;
(2)求出,证明
,可得
,根据
可得结论;
(3)①过作
于
,过点
作
于
,连接
,首先证明
,然后求出DG和AD的长,再利用勾股定理求出EG即可;②判断出点E的运动路径为EF,根据
可得答案.
解:(1)∵是等边三角形,
平分
,
∴∠BAD=∠DAC=∠CAE=30°,
∵,
∴AE∥BC,AD=DC,
∵AE=AD,
∴AE=DC,
∴四边形是平行四边形,
∵AD=DC,
∴四边形是菱形;
(2)∵是等边三角形,
∴,
,
在中,
,
,
∴,
∴,
∵,
,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,即
为
的中点;
(3)①过作
于
,过点
作
于
,连接
,
∵为
的中点,
,
∴,
∵,
∴,
在中,
,
,
,
∴,
∴,
∴,
在中,
,
∴,
在中,
;
②由(2)可知,,
∴当点D从点B运动到点C时,点D的运动路径为BC,点E的运动路径为EF,
∵,
∴点从
点运动到
点,则点
所经过路径长为
.
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【题目】为了抓住武汉园博园元宵灯会的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要95元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要80元.
(1) 求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于750元,但不超过765元,那么该商店共有几种进货方案?
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【题目】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔板”,图①是由边长的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形,该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______
(结果保留根号).
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
为一、三象限角平分线,点
关于
轴的对称点称为
的一次反射点,记作
;
关于直线
的对称点称为点
的二次反射点,记作
.
例如,点的一次反射点为
,二次反射点为
.
根据定义,回答下列问题:
(1)点的一次反射点为__________,二次反射点为____________;
(2)当点在第一象限时,点
,
,
中可以是点
的二次反射点的是___________;
(3)若点在第二象限,点
,
分别是点
的一次、二次反射点,
为等边三角形,求射线
与
轴所夹锐角的度数.
(4)若点在
轴左侧,点
,
分别是点
的一次、二次反射点,
是等腰直角三角形,请直接写出点
在平面直角坐标系
中的位置.
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【题目】如图,抛物线与轴交于
两点,与
轴交于点
连接
,已知
,且
,
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点为直线
下方抛物线上一动点,过点
作
轴交
于
点,连接
①若,求此时点
的坐标;
②若点关于直线
的对称点
恰好落在
轴上,求此时点
的坐标.
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【题目】我国魏晋时期的数学家刘徽(263年左右)首创“割圆术”,所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率,刘徽计算出圆周率.
刘徽从正六边形开始分割圆,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,圆内接正二十四边形,…,割的越细,圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为R,圆内接正六边形的周长,计算
;圆内接正十二边形的周长
,计算
;请写出圆内接正二十四边形的周长
________,计算
________.(参考数据:
,
)
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【题目】为庆祝建国70周年,某校举办了爱我中华知识竞赛活动.该校南、北两个校区七年级各有300名学生参加竞赛活动.为了解这两个校区参赛学生成绩情况,从中各随机抽取了10名学生的成绩进行调查,过程如下:
(收集、整理、描述数据)根据随机抽取的10名学生的成绩,制作了如下统计图表:
(说明:成绩90分及以上为优秀,80-89分为良好,60-79分为合格,60分以下为不合格)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
南校 | 92 | 100 | 86 | 80 | 73 | 98 | 54 | 95 | 98 | 85 |
北校 | 100 | 100 | 94 | 83 | 74 | 86 | 75 | 100 | 73 | 75 |
(分析数据)对上述数据进行分析,分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表:
校区 | 平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) |
南校 | 87 | 90.5 | |
北校 | 86 | 100 |
(得出结论)综合上述统计全过程,回答下列问题:
(1)补全表格.
(2)估计北校七年级学生竞赛成绩为优秀的人数.
(3)你认为哪个校区的七年级学生竞赛成绩比较好?说明你的理由.(从两个不同的角度说明推断的合理性)
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