【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣4mx+n(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在原点左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA,连接AC、BC.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)将线段AC绕点A旋转60°得到线段AC',若点C'在抛物线的对称轴上,求出此时抛物线的函数解析式.
【答案】(1)A(﹣4,0),B(8,0);(2)y=x2﹣x﹣
【解析】
(1)设:OA=a,则OB=2a,抛物线的对称轴为x=2,则点A(-a,0)、B(2a,0),则x=2=求出a,即可求出A、B的坐标;
(2)由题意得:CM=2,CH=4,OC=-n=N=AH,HM=6=GC′,线段AC绕点A旋转60°得到线段AC',则△ACC′为等边三角形,利用勾股定理,即可求解.
(1) 如图所示,设:OA=a,则OB=2a,抛物线的对称轴为x==2,
则点A(﹣a,0)、B(2a,0),
则x=2=,
解得:a=4
∴A(﹣4,0)、B(8,0)
(2)过点A作y轴的平行线,分别交过点C、 与x轴的平行线于点H、G,直线HC交对称轴于点M,则四边形 为矩形,
由题意得: CM=2, CH=4,OC=-n=N=AH, ,
线段AC绕点A旋转60°得到线段,则为等边三角形,
则 ,
在中, ,
则 ,
在中, , 即:
整理得: ,
解得:,
即:
∴y=mx2﹣4mx-
把B(8,0)代入y=mx2﹣4mx-代入解得:
故函数的表达式为:y=x2﹣x﹣
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、E在⊙O上,∠B=2∠ACE,在BA的延长线上有一点P,使得∠P=∠BAC,弦CE交AB于点F,连接AE.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)若AF=2,AE=EF=,求OA的长.
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【题目】如图,线段AB=4,M为AB的中点,动点P到点M的距离是1,连接PB,线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是_____.
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【题目】下列说法:①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;②经过有交通信号灯的路口,遇到红灯是必然事件;③若甲组数据的方差是,乙组数据的方差是,则甲数据比乙组数据稳定;④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径,其中正确说法的个数是( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】某中学数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的中国—我最喜爱的小吃”调查活动,将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图:
调查问卷
在下面四种重庆小吃中,你最喜的是( )(单选)
A、烧鸡 B、欢喜团 C、锅子饼 D、蜜枣
请根据所给信息解答下列问题:
(1)请补全条形统计图;
(2)若全校有2000名学生,请估计全校同学中最喜欢“烧鸡”的同学有多少人.
(3)在此次调查活动中,有3女2男共5名工作人员,若从中随机选择2名负责调查问卷的发放和回收工作,请用列表或画树状图的方法,求出这2名工作人员恰好是1男1女的概率.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O.
(1)作∠B的平分线与⊙O交于点D(用尺规作图,不用写作法,但要保留作图痕迹);
(2)在(1)中,连接AD,若∠BAC=60°,∠C=66°,求∠DAC的大小.
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【题目】如图,在中,,是的外接圆,连结OA、OB、OC,延长BO与AC交于点D,与交于点F,延长BA到点G,使得,连接FG.
备用图
(1)求证:FG是的切线;
(2)若的半径为4.
①当,求AD的长度;
②当是直角三角形时,求的面积.
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【题目】如图,AB 是⊙O 的弦,AB=5cm,点 P 是弦 AB 上的一个定点,点 C 是弧 AB 上的一 个动点,连接 CP 并延长,交⊙O 于点 D.
小明根据学习函数的经验,分别对 AC,PC,PD 长度之间的关系进行了探究.
下面是小明的探究过程:
(1)对于点 C 在弧 AB 上的不同位置,画图、测量,得到了线段 AC,PC,PD 的长度的 几组值,如下表:
位置 1 | 位置 2 | 位置 3 | 位置 4 | 位置 5 | 位置 6 | 位置 7 | 位置 8 | 位置 9 | |
AC/cm | 0 | 0.37 | 1.00 | 1.82 | 2.10 | 3.00 | 3.50 | 3.91 | 5.00 |
PC/cm | 1.00 | 0.81 | 0.69 | 0.75 | 1.26 | 2.11 | 2.50 | 3.00 | 4.00 |
PD/cm | 4.00 | 5.00 | 5.80 | 6.00 | 3.00 | 1.90 | 1.50 | 1.32 | 1.00 |
在 AC,PC,PD 的长度这三个量中,确定___的长度是自变量,其他两条线段的长度都是这个自变量的函数;
(2)请你在同一平面直角坐标系 xOy 中, 画(1)中所确定的两个函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
①当 PC=PD 时,AC 的长度约为 cm;
②当△APC 为等腰三角形时,PC 的长度约为 cm.
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