【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、E在⊙O上,∠B=2∠ACE,在BA的延长线上有一点P,使得∠P=∠BAC,弦CE交AB于点F,连接AE.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)若AF=2,AE=EF=,求OA的长.
【答案】(1)见解析;(2)OA=5
【解析】
(1)连接OE,根据圆周角定理得到∠AOE=∠B,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,求得∠OEP=90°,于是得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到∠OAE=∠OEA,∠EAF=∠AFE,再根据相似三角形的性质即可得到结论.
解:(1)连接OE,
∴∠AOE=2∠ACE,
∵∠B=2∠ACE,
∴∠AOE=∠B,
∵∠P=∠BAC,
∴∠ACB=∠OEP,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OEP=90°,
∴PE是⊙O的切线;
(2)∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵AE=EF,
∴∠EAF=∠AFE,
∴∠OAE=∠OEA=∠EAF=∠AFE,
∴△AEF∽△AOE,
∴,
∵AF=2,AE=EF=,
∴OA=5.
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【题目】抛物线(,,为常数,且)经过点和,且,当时,随着的增大而减小.下列结论:①;②若点,点都在抛物线上,则;③;④若,则.其中结论正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图所示,菱形ABCD中,直线l⊥边AB,并从点A出发向右平移,设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y,平移距离x=AF,y与x之间的函数关系的图象如图2所示,则菱形ABCD的面积为( )
A.3B.C.2D.3
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【题目】某校为了解本校九年级男生体育测试中跳绳成绩的情况,随机抽取该校九年级若干名男生,调查他们的跳绳成绩(次/分),按成绩分成,,,,五个等级.将所得数据绘制成如下统计图.根据图中信息,解答下列问题:
该校被抽取的男生跳绳成绩频数分布直方图
(1)本次调查中,男生的跳绳成绩的中位数在________等级;
(2)若该校九年级共有男生400人,估计该校九年级男生跳绳成绩是等级的人数.
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【题目】已知二次函数的与的部分对应值如下表:
-1 | 0 | 1 | 3 | |
-3 | 1 | 3 | 1 |
下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为;③当时,函数值随的增大而增大;④方程有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
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【题目】如图,在中,点为边中点,动点从点出发,沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点,在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示,则的长为( )
A.B.C.D.
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【题目】图 1、图 2 均是 6×6 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为 1,点 A、B、C、D 均在格点上.在图 1、图 2 中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.
(1)在图 1 中以线段 AB 为边画一个△ABM,使∠ABM=45°,且△ABM 的面积为 6;
(2)在图 2 中以线段 CD 为边画一个四边形 CDEF,使∠CDE=∠CFE=90°,且四边形 CDEF 的面积为 8.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣4mx+n(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在原点左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA,连接AC、BC.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)将线段AC绕点A旋转60°得到线段AC',若点C'在抛物线的对称轴上,求出此时抛物线的函数解析式.
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