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【题目】已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.

(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.

【答案】
(1)

证明:∵菱形AFED,

∴AF=AD,

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF,

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,

即∠BAD=∠CAF,

∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF,

∴CF=BD,

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC,

即①BD=CF,②AC=CF+CD


(2)

解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD,

理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,

即∠BAD=∠CAF,

∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF,

∴BD=CF,

∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,

即AC=CF﹣CD


(3)

AC=CD﹣CF.理由是:

∵∠BAC=∠DAF=60°,

∴∠DAB=∠CAF,

∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF(SAS),

∴CF=BD,

∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC,

即AC=CD﹣CF.


【解析】(1)根据已知得出AF=AD,AB=BC=AC,∠BAC=∠DAF=60°,求出∠BAD=CAF,证△BAD≌△CAF,推出CF=BD即可;(2)求出∠BAD=∠CAF,根据SAS证△BAD≌△CAF,推出BD=CF即可;(3)画出图形后,根据SAS证△BAD≌△CAF,推出CF=BD即可.

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发言次数n

A

0≤n<3

B

3≤n<6

C

6≤n<9

D

9≤n<12

E

12≤n<15

F

15≤n<18


(1)求出样本容量,并补全直方图;
(2)该年级共有学生500人,请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数;
(3)已知A组发言的学生中恰有1位女生,E组发言的学生中有2位男生.现从A组与E组中分别抽一位学生写报告,请用列表法或画树状图的方法,求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率.

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