Question

【题目】△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；

（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；

（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∵AC=BC，BD=AC，

∴BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC= =67.5°，

∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°，

在△ADC和△BED中，

，

∴△ADC≌△BED，

∴∠BDE=∠ACD=22.5°

（2）

解：由（1）有∠BDE=22.5°，

∵EF⊥AB，

∴∠BFE=∠DFE=90°，

∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°，

由（1）有，△ADC≌△BED，

∴DC=DE，

∴∠DEC=∠BCD=67.5°，

∴∠DEF=∠DEC，

即：∠FED=∠CED

（3）

解：如图2，

由（1）知CD=DE，

∴∠DCE=∠DEC=67.5°，

∴∠CDE=45°，

过D作DM⊥CE于M，

∴CM=ME= CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，

∵EM⊥DM，EF⊥DB，

∴EF=ME，

∵∠BFE=90°，∠B=45°，

∴∠BEF=∠B=45°，

∴EF=BF，

∴CE=2ME=2EF=2BF=4．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD，再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数；（2）先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°，求出∠BED，再由（1）结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5°即可．（3）由（1）知CD=DE，根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°，过D作DM⊥CE于M，根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形三边关系的相关知识，掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边．