Question

【题目】己知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．

①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2画出图形探究线段FE，FA，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵AD⊥BC，AB=AC，

∴BD=DC，

∴FB=FC，

∴∠FBC=∠FCB，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠FBA=∠FCA，

∵以AC为边作等边三角形ACE，

∴AE=AC=AB，

∴∠ABF=∠AEF，

∴∠ACF=∠AEF，

即：∠FEA=∠FCA；

②结论：EF=FA+AD，

∵以AC为边作等边三角形ACE，

∴∠EAC=60°，

由①有，∠ACF=∠AEF，

∴∠EFC=∠EAC=60°，

由①得，BF=CF，FD⊥BC，

∴∠BFD=∠CFD，

∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，

∴∠BFD=∠CFD= =60°，

∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°，

∴∠ACD+∠ACF=30°，

∴∠ECF=∠ECA﹣∠ACF=60°﹣∠ACF=60°﹣（30°﹣∠ACD）=30°+∠ACD，

如图1，

延长AD，在AD上截取AD=DK，连接CK，

∵AD⊥BC，

∴∠ACD=∠KCD，CA=CK

∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACF+∠ACD+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，

∴∠FCK=∠ECF，

∵AC=CE，AC=CK，

∴CK=CE，

在△CFE和△CFK中， ，

∴△CFE≌△CFK，

∴FE=FK=FD+DK，

∵AD=DK，

∴FE=FD+AD；

（2）

解：结论：EF=FA+AD，

如图2，

∵以AC为边作等边三角形ACE，

∴∠EAC=60°，

同（2）①的方法有，∠ACF=∠AEF，

∴∠EFC=∠EAC=60°，

同（2）①方法得，BF=CF，FD⊥BC，

∴∠BFD=∠CFD，

∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，

∴∠BFD=∠CFD= =60°，

∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°，

∴∠ACD﹣∠ACF=30°，

∴∠ECF=∠ECA+∠ACF=60°+∠ACF=60°+（∠ACD﹣30°）=30°+∠ACD，

延长AD，在AD上截取AD=DK，连接CK，

∵AD⊥BC，

∴∠ACD=∠KCD，CA=CK

∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACD﹣∠ACF+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，

∴∠FCK=∠ECF，

∵AC=CE，AC=CK，

∴CK=CE，

在△CFE和△CFK中， ，

∴△CFE≌△CFK，

∴FE=FK=FD+DK，

∵AD=DK，

∴FE=FD+AD；

【解析】（1）①利用中垂线得到∠FBC=∠FCB，从而得到∠FBA=∠FCA，再由等边三角形的性质得到∠ABF=∠AEF即可；②先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠ACD+∠ACF=30°，进而得出∠FCK=∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可；（2）先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠ACD﹣∠ACF=30°，进而得出∠FCK=∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可；
【考点精析】关于本题考查的三角形三边关系，需要了解三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边才能得出正确答案．