【题目】综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图1，在正方形
中，以
为直径作半圆
，以
为圆心，
为半径作
，与半圆交于点
.我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．
性质探究：如图2，连接
并延长交
于点
，则
为半圆的切线．
证明：连接
．
由作图可知，
，
又
．
，∴是半圆的切线．
问题解决：
（1）如图3，在图2的基础上，连接
.请判断
和
的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，请直接写出线段
之间的数量关系；
（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接
并延长交于点
，请写出
和的数量关系，并说明理由；
（4）如图5，已知点
为正方形的四个“奇妙点”．连接
，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．
【答案】（1）
，理由见解析；（2）
；（3）
，理由见解析；（4）答案不唯一，如：
的面积等于正方形
的面积；正方形的面积等于正方形
面积的
等．
【解析】
（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出
，再由边边边定理可证得
，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；
（2）由（1）可知
、，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；
（3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；
（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得
，即可提出猜想．
解：（1）结论：
理由如下：
∵
∴
，
，
∴
∵
∴
在
和
中
∵
，
∴
∴
∵
∴；
（2）∵由（1）可知，、
∴
，
∵
∴
∴线段
、
、
之间的数量关系是；
（3）结论：
理由：连接
、
，如图：
由（1）可知，
∵
∴
∵点
为
的中点
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∴；
（4）延长
交于点，连接、，如图：
∵由前面的结论可知
∴
∵此图为赵爽弦图即
∴
同理可得
、
、
∵四边形是正方形
∴
∴
∴在
和
中，
∴
∴
∴
∴
∴答案不唯一，例如，的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等等．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数
（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=
，cos∠ACH=
，点B的坐标为（4，n）
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BCH的面积．
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【题目】在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，
)，点C的坐标为(1，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值_____．
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【题目】定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在
与
中，
，且
所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为
，连接
，则称
会为“关联比"．
下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
[特例感知]
当与为“关联等腰三角形”，且
时，
①在图1中，若点
落在
上，则“关联比”=
②在图2中，探究
与
的关系，并求出“关联比”的值．
[类比探究]
如图3，
①当与为“关联等腰三角形”，且
时，“关联比”=
②猜想：当与为“关联等腰三角形”，且
时，“关联比”= (直接写出结果，用含
的式子表示)
[迁移运用]
如图4， 与为“关联等腰三角形”．若
点
为
边上一点，且
，点为
上一动点，求点自点
运动至点时，点
所经过的路径长．
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【题目】某村启动“脱贫攻坚”项目，根据当地的地理条件，要在一座高为1000m的上种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下：
①这座山的山脚下温度约为22°C，山高h（单位：m）每增加100m，温度T（单位：°C）下降约0.5°C；
②该作物的种植成活率p受温度T影响，且在19°C时达到最大．大致如表：
温度T°C | 21 | 20.5 | 20 | 19.5 | 19 | 18.5 | 18 | 17.5 |
种植成活率p | 90% | 92% | 94% | 96% | 98% | 96% | 94% | 92% |
③该作物在这座山上的种植量w受山高h影响，大致如图1：
（1）求T关于h的函数解析式，并求T的最小值；
（2）若要求该作物种植成活率p不低于92%，根据上述统计结果，山高h为多少米时该作物的成活量最大？请说明理由．
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【题目】如图，点
是线段
上一点，
，以点为圆心，
的长为半径作⊙，过点
作的垂线交⊙于
，
两点，点
在线段
的延长线上，连接
交⊙于点
，以，
为边作
．
（1）求证：
是⊙的切线；
（2）若
，求四边形
与⊙重叠部分的面积；
（3）若
，
，连接
，求
和的长．
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【题目】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为_____．
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【题目】如图1所示，抛物线
与
轴交于点
两点，与
轴交于点
，直线
经过点
，与抛物线另一个交点为，点
是抛物线上的一个动点，过点作
轴于点
，交直线
于点
（1）求抛物线的解析式
（2）当点在直线上方，且
是以
为腰的等腰三角形时，求的坐标
（3）如图2所示，若点为对称轴右侧抛物线上一点，连接
，以为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为
的
，是否存在点，使点
恰好落在直线
上？若存在，请直接写出相应点的横坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM．
（1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似；
（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长；
（3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．
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