【题目】如图1所示,抛物线与
轴交于点
两点,与
轴交于点
,直线
经过点
,与抛物线另一个交点为
,点
是抛物线上的一个动点,过
点作
轴于点
,交直线
于点
(1)求抛物线的解析式
(2)当点在直线
上方,且
是以
为腰的等腰三角形时,求
的坐标
(3)如图2所示,若点为对称轴右侧抛物线上一点,连接
,以
为直角顶点,线段
为较长直角边,构造两直角边比为
的
,是否存在点
,使点
恰好落在直线
上?若存在,请直接写出相应点
的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)P
或
;(3)存在,2或
【解析】
(1)利用待定系数法求二次函数的解析式;
(2)先把C点代入直线CD中求出m的值,表示P(m,-m2+2m+3)、E(m,m+3),当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时,然后分分两种情况:①当CE=CP时,②当CE=PE时;
(3)先根据点P在抛物线上,G在直线y=x上设P(m,-m2+2m+3),G(a,a),
如图3,作辅助线,构建两个相似三角形,证明△PHG∽△BNP,则,由两直角边比为1:2列方程组解出横坐标m;如图4,同理列方程组解出m的值.
解:(1)把点的坐标代入抛物线
中,
得:,
解得,
所以抛物线的解析式为;
(2)把代入
,得
,
所以直线的解析式为:,
设,
①当时,作
,如图2,
,
,
.
,
,
当时,
;
②当时,
,
,
勾股定理得,
,
解得(舍去),
,
当时
,
综上所述当三角形是以
为腰的等腰三角形时,点P的坐标为
或
;
(3)点P的横坐标为2或.
设P(m,-m2+2m+3),G(a,a),
如图3,
过B作BN∥y轴,过P作PH∥x轴,交于N,过G作GH⊥PN,垂足为H,则∠PHG=∠BNP=90°,
∴∠NBP+∠BPN=90°,
∵∠BPG=90°,
∴∠BPN+∠NPG=90°,
∴∠NBP=∠NPG,
∴△PHG∽△BNP,
∴,
∵=2,
∴=2,
∴=2,
则,
解得:m1=-3(舍去),m2=2;
如图4,
过P作NH∥x轴,过G作GN⊥NH,过B作BH⊥NH,垂足分别为N、H,
同理得:△PNG∽△BHP,
∴,
∴,
∴,
解得:m1=(舍去),m2=
,
综上所述,相应点P的横坐标为2或.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,,
,
是等腰直角三角形且
,把
绕点B顺时针旋转
,得到
,把
绕点C顺时针旋转
,得到
,依此类推,得到的等腰直角三角形的直角顶点
的坐标为__________.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,对于某点
(
不是原点),称以点
为圆心,
长为半径的圆为点
的半长圆;对于点
,若将点
的半长圆
绕原点旋转,能够使得点
位于点
的半长圆内部或圆上,则称点
能被点
半长捕获(或点
能半长捕获点
).
(1)如图,在平面直角坐标系中,点
,则点
的半长圆的面积为__________;下列各点
、
、
、
,能被点
半长捕获的点有__________;
(2)已知点,
,
,①如图,点
,当
时,线段
上的所有点均可以被点
半长捕获,求
的取值范围;②若对于平面上的任意点(原点除外)都不能半长捕获线段
上的所有点,直接写出
的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=
的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2:
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线l1:y=﹣x向上平移后的直线l2与反比例函数y=
在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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【题目】学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注,学校为了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成如图不完整的统计表
学生借阅图书的次数
借阅图书的次数 | 0次 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次及以上 |
人数 | 7 | 13 | a | 10 | 3 |
学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表的信息,解答下列问题:
(1)a= ;b=
(2)该调查统计数据的中位数是__________次
(3)扇形统计图中,“3次”所对应的扇形圆心角度数是______________;
(4)若该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次以上”的人数
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【题目】某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下:如图,两侧最长斜拉索,
相交于点
,分别与桥面交于
,
两点,且点
,
,
在同一竖直平面内.测得
,
,
米,请帮助该小组根据测量数据,求斜拉索顶端点
到
的距离.(参考数据:
,
,
,
,
,
.)
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【题目】在开发区建设中,要拆除烟囱AB,在地面上事先画定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在从离B点21米远的建筑物CD顶点C,测得A点的仰角为,B点的俯角为
,问离B点35米远的文物保护区是否在危险区内,请通过计算说明.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线与
轴、
轴分别相交于
、
两点,抛物线
经过点
,交
轴正半轴于点
.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点是抛物线上的一个动点,并且点
在第一象限内,连接
、
,设点
的横坐标为
,
的面积为
,求
与
的函数表达式,并求出
的最大值及此时动点
的坐标;
(3)将点绕原点旋转得点
,连接
、
,在旋转过程中,一动点
从点
出发,沿线段
以每秒
个单位的速度运动到
,再沿线段
以每秒
个单位长度的速度运动到
后停止,求点
在整个运动过程中用时最少是多少?
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【题目】阅读对人成长的影响是巨大的,一本好书往往能改变人的一生,每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”.蓝天中学为了解八年级学生本学期的课外阅读情况,随机抽查部分学生对其课外阅读量进行统计分析,绘制成两幅不完整的统计图.根据图示信息,解答下列问题:
(1)求被抽查学生人数,课外阅读量的众数,扇形统计图中m的值;并将条形统计图补充完整;
(2)若规定:本学期阅读3本以上(含3本)课外书籍者为完成目标,据此估计该校600名学生中能完成此目标的有多少人?
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