Question

【题目】某村启动“脱贫攻坚”项目，根据当地的地理条件，要在一座高为1000m的上种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下：

①这座山的山脚下温度约为22°C，山高h（单位：m）每增加100m，温度T（单位：°C）下降约0.5°C；

②该作物的种植成活率p受温度T影响，且在19°C时达到最大．大致如表：

温度T°C	21	20.5	20	19.5	19	18.5	18	17.5
种植成活率p	90%	92%	94%	96%	98%	96%	94%	92%

③该作物在这座山上的种植量w受山高h影响，大致如图1：

（1）求T关于h的函数解析式，并求T的最小值；

（2）若要求该作物种植成活率p不低于92%，根据上述统计结果，山高h为多少米时该作物的成活量最大？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）T＝－h＋22（0≤h≤1000），当h＝1000m时，T有最小值17°C；（2）山高h为300米时该作物的成活量最大．理由见解析．

【解析】

（1）根据“这座山的山脚下温度约为22°C，山高h（单位：m）每增加100m，温度T（单位：°C）下降约0.5°C”，可以得出T关于h的函数解析式，根据T随h的增大而减小求T的最小值；

（2）成活率p与温度T之间的关系大致符合一次函数关系，先求出一次函数关系式；由图知，除点E外，其余点大致在一条直线上，然后求出一次函数关系式，最后求出成活量与h的函数关系式，从而确定山高h为300米时该作物的成活量最大．

解：（1）由题意得T＝22－×0.5，

即T＝－h＋22（0≤h≤1000）.

∵－＜0，

∴T随h的增大而减小.

∴当h＝1000m时，T有最小值17°C.

（2）根据表一的数据可知，当19≤T≤21时，成活率p与温度T之间的关系大致符合一次函数关系，不妨设p1＝k1T＋b1；

当17.5≤T＜19时，成活率p与温度T之间的关系大致符合一次函数关系，不妨设p2＝k2T＋b2.

∵当T＝21时，p1＝0.9；当T＝20时，p1＝0.94，

解得：，

∴ p1＝－T＋（19≤T≤21）.

∵当T＝19时，p2＝0.98；当T＝18时，p2＝0.94，

解得，

∴p2＝T＋（17.5≤T＜19）.

由图知，除点E外，其余点大致在一条直线上，

因此，当0≤h≤1000时，可估计种植量w与山高h之间的关系大致符合一次函数关系，不妨设w＝k3h＋b3.

∵当h＝200时，w＝1600；当h＝300时，w＝1400，

解得，

∴w＝－2h＋2000（0≤h≤1000）.

考虑到成活率p不低于92%，

则17.5≤T≤20.5

由T＝－h＋22，可知T为17.5°C，19°C，20.5°C时，h分别为900m，600m，300m.

由一次函数增减性可知：

当300≤h≤600时，p1＝－T＋＝－（－h＋22）＋＝h＋.

当600＜h≤900时，p2＝T＋＝（－h＋22）＋＝－h＋.

∴当300≤h≤600时，

成活量＝w·p1＝（－2h＋2000）·（h＋）.

∵－＜0，对称轴在y轴左侧，

∴当300≤h≤600时，成活量随h的增大而减小.

∴当h＝300时，成活量最大.

根据统计结果中的数据，可知h＝300时成活率为92%，种植量为1400株，

∴此时最大成活量为1400×92%＝1288（株）.

当600＜h≤900时，

成活量＝w·p2＝（－2h＋2000）·（－h＋）.

∵＞0，对称轴在h＝900的右侧，

∴当600＜h≤900时，成活量随h的增大而减小.

且当h＝600时，w·p1＝w·p2

综上，可知当h＝300时，成活量最大.

∴山高h为300米时该作物的成活量最大．