Question

如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．
（1）求证：AM∥BN．
（2）探究y与x的函数关系．

Answer 1

考点：切线的性质,切线长定理

专题：

分析：（1）由AM和BN是⊙O的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，则可证得AM∥BN．
（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形，然后根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．

解答：（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AM∥BN．

（2）解：作DF⊥BN交BC于F，
∵AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=2，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）²=（x-y）²+2²，
整理为：y=

1

x

，
∴y与x的函数关系为：y=

1

x

．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．