【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,点M、N分别在AB、AD边上,若AM:MB=AN:ND=1:2.则 cos∠MCN= .
【答案】
【解析】解:∵AB=AD=6,AM:MB=AN:ND=1:2, ∴AM=AN=2,BM=DN=4,
连接MN,连接AC,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中, ,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°,MC=NC,
∴BC= AC,
∴AC2=BC2+AB2 , 即(2BC)2=BC2+AB2 ,
3BC2=AB2 ,
∴BC=2 ,
在Rt△BMC中,CM= =2
,
∵AN=AM,∠MAN=60°,
∴△MAN是等边三角形,
∴MN=AM=AN=2,
过M点作ME⊥CN于E,设NE=x,则CE=2 ﹣x,
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2 , 即4﹣x2=(2 )2﹣(2
﹣x)2 ,
解得:x= ,
∴EC=2 ﹣
=
,
∴cos∠MCN= =
=
,
故答案为: .
连接AC,通过三角形全等,求得∠BAC=30°,从而求得BC的长,然后根据勾股定理求得CM的长,连接MN,过M点作ME⊥CN于E,则△MNA是等边三角形求得MN=2,设NE=x,表示出CE,根据勾股定理即可求得ME,然后求得cos∠MCN的值即可.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)①当AE= cm时,四边形CEDF是矩形;
②当AE= cm时,四边形CEDF是菱形.
(直接写出答案,不需要说明理由)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A1 , A2 , A3…都在x轴上,点B1 , B2 , B3…都在直线y=x上,△OA1B1 , △B1A1A2 , △B2B1A2 , △B2A2A3 , △B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是( )
A.(22014 , 22014)
B.(22015 , 22015)
C.(22014 , 22015)
D.(22015 , 22014)
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【题目】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,CE⊥AD于点E,AD=8cm,BC=4cm,AB=5cm.从初始时刻开始,动点P,Q 分别从点A,B同时出发,运动速度均为1cm/s,动点P沿A﹣B﹣﹣C﹣﹣E的方向运动,到点E停止;动点Q沿B﹣﹣C﹣﹣E﹣﹣D的方向运动,到点D停止,设运动时间为xs,△PAQ的面积为ycm2 , (这里规定:线段是面积为0的三角形)
解答下列问题:
(1)当x=2s时,y=cm2;当x= s时,y=cm2 .
(2)当5≤x≤14 时,求y与x之间的函数关系式.
(3)当动点P在线段BC上运动时,求出 S梯形ABCD时x的值.
(4)直接写出在整个运动过程中,使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值.
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【题目】尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,连当年叱咤风云的拿破仑也不例外,我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分,如图只需在⊙O上任取点A,从点A开始,以⊙O的半径为半径,在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分.下列可以只用圆规等分的是( ) ①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分.
A.②
B.①②
C.①②③
D.①②③④
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【题目】一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.
(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”);
(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回,大量重复该实验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是
(3)在一个摸球游戏中,所有可能出现的结果如下:
根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:如果y′= ,那么称点Q为点P的“关联点”.例如:点(5,6)的“关联点”为点(5,6),点(﹣5,6)的“关联点”为点(﹣5,﹣6).
(1)如果点A(3,﹣1),B(﹣1,3)的“关联点”中有一个在函数y= 的图象上,那么这个点是(填“点A”或“点B”).
(2)如果点N*(m+1,2)是一次函数y=x+3图象上点N的“关联点”,求点N的坐标.
(3)如果点P在函数y=﹣x2+4(﹣2<x≤a)的图象上,其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4<y′≤4,那么实数a的取值范围.
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【题目】如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.
(1)求证:DM=DA;
(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;
(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.
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