Question

15．如图，在等边△ABC中，点D是BC中点，点E在BA的延长线上，ED=EC，AC和ED交于点F，若AE=$\frac{12}{5}$，则CF=$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 作EG∥AC交BC的延长线于G，根据平行线的性质和等边三角形的性质得到△EBG是等边三角形，求出CG的长，证明△BED≌△GEC，求出BD，根据三角形中位线定理计算即可．

解答 解：作EG∥AC交BC的延长线于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠G=60°，又∠B=60°，
∴△EBG是等边三角形，
∴EB=EG=BG，
∴CG=AE=$\frac{12}{5}$，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠G，
∴∠BED=∠GEC，
在△BED和△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EG}\\{∠BED=∠GEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△GEC，
∴BD=CG=$\frac{12}{5}$，
∴EG=BG=$\frac{36}{5}$，
∵EG∥AC，DC=CG，
∴CF=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{18}{5}$．
故答案为：$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查的是三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．