一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层.它一次最多能容纳32人.而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说.他往下走一层楼梯感到1分不满意.往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层.并且他们分别住在第2至第33层的每一层.问:电梯停在哪一层.可以使这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)解 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）
解依题意，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所所住的层数，设电梯停在第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么
不乘电梯直接上楼的不满意总分为$\frac{3y（y+1）}{2}$ ①，
乘电梯到x层后，再往上走不满意总分为$\frac{3（33-x）（34-x）}{2}$②，
乘电梯到x层后，再往下走的满意总分为$\frac{3（x-1-y）（x-y）}{2}$③，
则不满意总分S为①，②，③的和，整理得S=3x²+3y²-3xy-102x+3y+1683．

分析 ①结合已知可知，没乘电梯的y人应该住在2，3，…，y+1层，他们上楼楼层数分别为：1，2，…，y，该组数相加乘3即可得出结论；
②电梯到x层后，往上走的有33-x人，他们上楼楼层数分别为：1，2，…，33-x，该组数相加乘3即可得出结论；
③电梯到x层后，往下走的有x-1-y人，他们下楼楼层数分别为：1，2，…，x-1-y，该组数相加乘3即可得出结论；
④将①②③得出的数据相加整理即可得出结论．

解答解：由常识可知，没乘电梯的y人应该分布在2，3，…，y+1层．
故不乘电梯直接上楼的不满意总分为：3×（1+2+3+…+y）=$\frac{3y（y+1）}{2}$；
电梯到x层后，往上走的有33-x人，且每层住一人，
故乘电梯到x层后，再往上走不满意总分为：3×（1+2+…+33-x）=$\frac{3（33-x）（34-x）}{2}$；
电梯到x层后，往下走的有x-1-y人，且y+1层以上每层住一人，
故乘电梯到x层后，再往下走的满意总分为：3×（1+2+…+x-1-y）=$\frac{3（x-1-y）（x-y）}{2}$；
则不满意总分S为①，②，③的和，S=$\frac{3y（y+1）}{2}$+$\frac{3（33-x）（34-x）}{2}$+$\frac{3（x-1-y）（x-y）}{2}$=3x²+3y²-3xy-102x+3y+1683．
故答案为：①$\frac{3y（y+1）}{2}$；②$\frac{3（33-x）（34-x）}{2}$；$\frac{3（x-1-y）（x-y）}{2}$；$\frac{3（x-1-y）（x-y）}{2}$．

点评本题考查的数的变化规律，解题的关键是找出数列1，2，…，n的和．本题属于中档题，难度不大，但是在数列求和中容易失分，将该组数列首位相加即可得出规律，从而得出结论．

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