Question

【题目】如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2， AB＝4，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F．

（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；

（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；

（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值．答：t＝________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形AECF是矩形，理由见解析；（3）秒或5秒或2秒

【解析】

（1）已知EF∥BC，结合已知条件利用两组对边分别平行证明BCFE是平行四边形；因为AC=BC，等角对等边，得∠B＝∠BAC，CF平分∠ACH，则∠ACF＝∠FCH，结合∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，等量代换得∠FCH＝∠B，则同位角相等两直线平行，得BE∥CF，结合EF∥BC，证得四边形BCFE是平行四边形；

（2）先证∠AED=90°，再证四边形AECF是平行四边形，则四边形AECF是平行四边形是矩形；AC＝BC，E是AB的中点，由等腰三角形三线合一定理知CE⊥AB，因为四边形BCFE是平行四边形，得CF＝BE＝AE，AE∥CF，一组对边平行且相等，且有一内角是直角，则四边形AECF是矩形；

（3）分三种情况进行①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则邻边BE=BC，这时根据S=vt=2t=, 求出t即可；②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，过C作CD⊥AB于D，AC=BC，三线合一则BD的长可求，在Rt△BDC中运用勾股定理求出CD的长，把ED长用含t的代数式表示出来，现知EG=CF=EC=EB=2t，在Rt△EDC中，利用勾股定理列式即可求出t；③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则CA＝AF＝BC，此时E与A重合，则2t=AB=4, 求得t值即可.

（1）证明：如图1，∵AC＝BC，

∴∠B＝∠BAC，

∵CF平分∠ACH，

∴∠ACF＝∠FCH，

∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，

∴∠FCH＝∠B，

∴BE∥CF，

∵EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形

（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：

如图2，∵E是AB的中点，AC＝BC，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，

∴CF＝BE＝AE，

∵AE∥CF，

∴四边形AECF是矩形

（3）秒或5秒或2秒

分三种情况：

①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，

∴BE＝BC，即2t＝2 ，

t＝ ；

②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CD⊥AB于D，

∵AC＝BC，AB＝4，

∴BD＝2，

由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6，

∵EG2＝EC2 ， 即（2t）2＝62+（2t﹣2）2 ，

t＝5；

③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，

∴t＝2，

综上，t的值为秒或5秒或2秒；

故答案为： 秒或5秒或2秒．