Question

5．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$；
（2）若∠AOB=120°，CD=2$\sqrt{3}$，求半径OA的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．

解答 解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\\{OC=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC=$\frac{CD}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴OA=4．

点评 本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．