【题目】已知△ACB中,∠C=90°,以点A为中心,分别将线段AB, AC 逆时针旋转60°得到线段AD, AE,连接DE,延长DE交CB于点F.
(1)如图1,若∠B=30°,∠CFE的度数为_________;
(2)如图2,当30°<∠B<60°时,
①依题意补全图2;
②猜想CF与AC的数量关系,并加以证明.
【答案】(1) 120°;(2)①作图见解析;②,证明见解析
【解析】
(1)先求出∠BAC=60°,进而判断出点E在边AB上,得出△ADE≌△ABC(SAS),进而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论;
(2)①依题意补全图形即可;
②先判断出△ADE≌△ABC(SAS),进而得出∠AEF=90°,即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF,进而求出∠CAF=∠CAE=30°,即可得出结论.
解:(1)如图1,在Rt△ABC中,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
由旋转知,∠DAE=60°=∠CAB,
∴点E在边AB上,
∵AD=AB,AE=AC,
∴△ADE≌△ABC(SAS),
∴∠AED=∠ACB=90°,
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°,
故答案为120°;
(2)①依题意补全图形如图2所示,
②如图2,连接AF,
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠EAD=∠CAB,
∵AD=AB,AE=AC,
∴△ADE≌△ABC(SAS),
∴∠AED=∠C=90°,
∴∠AEF=90°,
∴Rt△AEF≌Rt△ACF,
∴∠EAF=∠CAF,
∴∠CAF=∠CAE=30°,
在Rt△ACF中,CF=AF,且AC2+CF2=AF2,
∴CF=AC.
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【题目】如图,在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE.F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)试说明:△ABF∽△EAD;
(2)若AB=8,BE=6,AD=9,求BF的长.
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【题目】如图,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE.
(Ⅰ)求证:∠A=∠EBC;
(Ⅱ)若已知旋转角为50°,∠ACE=130°,求∠CED和∠BDE的度数.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦BC=OB,点D是上一动点,点E是CD中点,连接BD分别交OC,OE于点F,G.
(1)求∠DGE的度数;
(2)若=,求的值;
(3)记△CFB,△DGO的面积分别为S1,S2,若=k,求的值.(用含k的式子表示)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=﹣x2+2x.
(1)补全表格:
抛物线 | 顶点坐标 | 与x轴交点坐标 | 与y轴交点坐标 | |
y=﹣x2+2x | (1,1) |
|
| (0,0) |
(2)将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2,请画出抛物线C1,C2,并直接回答:抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍.
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【题目】(1)先化简,再求值:其中,a是方程x2+3x+1=0的根.
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和(5,0),试求该抛物线的表达式.
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【题目】(1)先化简,再求值:其中,a是方程x2+3x+1=0的根.
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和(5,0),试求该抛物线的表达式.
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【题目】如图,对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,其中点A的坐标为(﹣3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点:
①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标;
②在抛物线的对称轴上找出一点Q,使BQ+CQ的值最小,并求出点Q的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F连接AE、DE、DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)若∠E=58°,求∠BDF的度数.
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