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【题目】已知ACB中,∠C=90°,以点A为中心,分别将线段AB, AC 逆时针旋转60°得到线段AD, AE,连接DE,延长DECB于点F.

(1)如图1,若∠B=30°,∠CFE的度数为_________

(2)如图2,当30°<B<60°时,

①依题意补全图2;

②猜想CFAC的数量关系,并加以证明.

【答案】(1) 120°(2)①作图见解析;②,证明见解析

【解析】

1)先求出∠BAC=60°,进而判断出点E在边AB上,得出ADE≌△ABCSAS),进而得出∠AED=ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论;

2)①依题意补全图形即可;

②先判断出ADE≌△ABCSAS),进而得出∠AEF=90°,即可判断出RtAEFRtACF,进而求出∠CAF=CAE=30°,即可得出结论.

解:(1)如图1,在RtABC中,∠B=30°

∴∠CAB=60°

由旋转知,∠DAE=60°=CAB

∴点E在边AB上,

AD=ABAE=AC

∴△ADE≌△ABCSAS),

∴∠AED=ACB=90°

∴∠CFE=B+BEF=30°+90°=120°

故答案为120°

2)①依题意补全图形如图2所示,

②如图2,连接AF

∵∠BAD=CAE

∴∠EAD=CAB

AD=ABAE=AC

∴△ADE≌△ABCSAS),

∴∠AED=C=90°

∴∠AEF=90°

Rt△AEFRt△ACF

∴∠EAF=CAF

∴∠CAF=CAE=30°

Rt△ACF中,CF=AF,且AC2+CF2=AF2

CF=AC

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