【题目】如图,对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,其中点A的坐标为(﹣3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点:
①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标;
②在抛物线的对称轴上找出一点Q,使BQ+CQ的值最小,并求出点Q的坐标.
【答案】(1)(1,0);(2)①(﹣4,5)或(4,21);②(﹣1,﹣2).
【解析】
(1)根据抛物线的对称轴及点A的坐标,利用二次函数的对称性即可求出点B的坐标;
(2)由a的值及点A、B的坐标,即可求出二次函数的解析式,再利用二次函数的性质可求出点C的坐标.
①设点P的坐标为(x,x2+2x﹣3),根据三角形的面积公式结合S△POC=4S△BOC,即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出结论;
②连接AC,交抛物线对称轴于点Q,利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性可得出此时BQ+CQ的值最小,由点A、C的坐标,利用待定系数法可求出直线AC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标.
(1)∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,点A的坐标为(﹣3,0),
∴点B的坐标为(﹣1×2﹣(﹣3),0),即(1,0).
(2)∵a=1,点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(1,0),
∴抛物线的解析式为y=(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3,
又∵点C为抛物线与y轴的交点,
∴点C的坐标为(0,﹣3).
①设点P的坐标为(x,x2+2x﹣3),
∵S△POC=4S△BOC,
∴|x|OC=4×OBOC,即|x|=4,
∴x=±4,
∴点P的坐标为(﹣4,5)或(4,21).
②连接AC,交抛物线对称轴于点Q,此时BQ+CQ的值最小,如图所示.
设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),
将A(﹣3,0)、B(0,﹣3)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3.
当x=﹣1时,y=﹣1×(﹣1)﹣3=﹣2,
∴点Q的坐标为(﹣1,﹣2).
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【题目】已知△ACB中,∠C=90°,以点A为中心,分别将线段AB, AC 逆时针旋转60°得到线段AD, AE,连接DE,延长DE交CB于点F.
(1)如图1,若∠B=30°,∠CFE的度数为_________;
(2)如图2,当30°<∠B<60°时,
①依题意补全图2;
②猜想CF与AC的数量关系,并加以证明.
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【题目】如图,在△ABC中,AB>AC,∠B=45°,AC=5,BC=4;E是AB边上一点,将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC,DC交AB于F,当DE∥AC时,tan∠DCE的值为_____.
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上.若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标.
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【题目】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= °;
(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm.点M从点A出发,以每秒1cm的速度沿AC方向运动:同时点N从点C出发,以每秒2cm的速度沿CB方向运动,当点N到达点B时,点M同时停止运动.
(1)运动几秒时,△CMN的面积为8cm2?
(2)△CMN的面积能否等于12cm2?若能,求出运动时间:若不能,请说明理由.
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