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【题目】如图,对称轴为直线x=﹣1的抛物线yax2+bx+ca0)与x轴相交于AB两点,其中点A的坐标为(﹣30).

1)求点B的坐标;

2)已知a1C为抛物线与y轴的交点:

若点P在抛物线上,且SPOC4SBOC,求点P的坐标;

在抛物线的对称轴上找出一点Q,使BQ+CQ的值最小,并求出点Q的坐标.

【答案】(1)(10);(2(﹣45)或(421);(﹣1,﹣2).

【解析】

1)根据抛物线的对称轴及点A的坐标,利用二次函数的对称性即可求出点B的坐标;

2)由a的值及点AB的坐标,即可求出二次函数的解析式,再利用二次函数的性质可求出点C的坐标.

设点P的坐标为(xx2+2x3),根据三角形的面积公式结合SPOC4SBOC,即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出结论;

连接AC,交抛物线对称轴于点Q,利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性可得出此时BQ+CQ的值最小,由点AC的坐标,利用待定系数法可求出直线AC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标.

1)∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,点A的坐标为(﹣30),

∴点B的坐标为(﹣1×2﹣(﹣3),0),即(10).

2)∵a1,点A的坐标为(﹣30),点B的坐标为(10),

∴抛物线的解析式为y=(x+3)(x1)=x2+2x3

又∵点C为抛物线与y轴的交点,

∴点C的坐标为(0,﹣3).

设点P的坐标为(xx2+2x3),

SPOC4SBOC

|x|OC4×OBOC,即|x|4

x=±4

∴点P的坐标为(﹣45)或(421).

连接AC,交抛物线对称轴于点Q,此时BQ+CQ的值最小,如图所示.

设直线AC的解析式为ymx+nm0),

A(﹣30)、B0,﹣3)代入ymx+n,得:

,解得:

∴直线AC的解析式为y=﹣x3

x=﹣1时,y=﹣1×(﹣1)﹣3=﹣2

∴点Q的坐标为(﹣1,﹣2).

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